不等式 $2|x| - 3 > |x+5|$ について、次の問いに答える問題です。 (1) $x \ge 0$ のとき、不等式を満たす $x$ の値の範囲を求める。 (2) $-5 \le x < 0$ のとき、不等式を満たす $x$ の値の範囲を求める。 (3) $x < -5$ のとき、不等式を満たす $x$ の値の範囲を求める。 (4) (1)～(3) の結果を用いて、不等式の解を求める。

1. 問題の内容

不等式 $2|x| - 3 > |x+5|$ について、次の問いに答える問題です。

(1) $x \ge 0$ のとき、不等式を満たす $x$ の値の範囲を求める。

(2) $-5 \le x < 0$ のとき、不等式を満たす $x$ の値の範囲を求める。

(3) $x < -5$ のとき、不等式を満たす $x$ の値の範囲を求める。

(4) (1)～(3) の結果を用いて、不等式の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x \ge 0$ のとき、$|x| = x$ であるから、$2x - 3 > |x+5|$ となる。

　さらに、$x \ge 0$ より $x+5 > 0$ なので、$|x+5| = x+5$ となる。

　したがって、$2x - 3 > x + 5$ を解くと、$x > 8$。

　$x \ge 0$ と $x > 8$ より、$x > 8$。

(2) $-5 \le x < 0$ のとき、$|x| = -x$ であるから、$-2x - 3 > |x+5|$ となる。

　$-5 \le x < 0$ より、$0 \le x+5 < 5$ なので、$|x+5| = x+5$ となる。

　したがって、$-2x - 3 > x + 5$ を解くと、$3x < -8$ より、$x < -\frac{8}{3}$。

　$-5 \le x < 0$ と $x < -\frac{8}{3}$ より、$-5 \le x < -\frac{8}{3}$。

(3) $x < -5$ のとき、$|x| = -x$ であるから、$-2x - 3 > |x+5|$ となる。

　$x < -5$ より、$x+5 < 0$ なので、$|x+5| = -(x+5) = -x - 5$ となる。

　したがって、$-2x - 3 > -x - 5$ を解くと、$x < 2$。

　$x < -5$ と $x < 2$ より、$x < -5$。

(4) (1)～(3)の結果をまとめると、$x > 8$ または $-5 \le x < -\frac{8}{3}$ または $x < -5$。

　したがって、$x < -\frac{8}{3}$ または $x > 8$。

3. 最終的な答え

(1) $x > 8$

(2) $-5 \le x < -\frac{8}{3}$

(3) $x < -5$

(4) $x < -\frac{8}{3}$ または $x > 8$