(1) 2つの2次不等式 $6x^2 + x - 15 > 0$ (①) と $x^2 + 8x - 1 < 0$ (②) が与えられています。 ①の解は $x < \frac{\text{アイ}}{\text{ウ}}$ 、$\frac{\text{エ}}{\text{オ}} < x$ であり、②の解は $\text{カキ} - \sqrt{\text{クケ}} < x < \text{カキ} + \sqrt{\text{クケ}}$ であるとき、①と②を同時に満たす整数 $x$ の個数を求めます。 (2) 2次不等式 $x^2 - x + 3 > 0$ の解が「ない」か「すべての実数」かを答えます。

1. 問題の内容

(1) 2つの2次不等式 $6x^2 + x - 15 > 0$ (①) と $x^2 + 8x - 1 < 0$ (②) が与えられています。

①の解は $x < \frac{\text{アイ}}{\text{ウ}}$ 、$\frac{\text{エ}}{\text{オ}} < x$ であり、②の解は $\text{カキ} - \sqrt{\text{クケ}} < x < \text{カキ} + \sqrt{\text{クケ}}$ であるとき、①と②を同時に満たす整数 $x$ の個数を求めます。

(2) 2次不等式 $x^2 - x + 3 > 0$ の解が「ない」か「すべての実数」かを答えます。

2. 解き方の手順

(1)

① $6x^2 + x - 15 > 0$ を解きます。

$6x^2 + x - 15 = (2x - 3)(3x + 5)$ であるから、

$(2x - 3)(3x + 5) > 0$

よって、$x < -\frac{5}{3}$ または $x > \frac{3}{2}$ 。

したがって、アイ = -5, ウ = 3, エ = 3, オ = 2。

② $x^2 + 8x - 1 < 0$ を解きます。

解の公式より、$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 4}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -4 \pm \sqrt{17}$

よって、$-4 - \sqrt{17} < x < -4 + \sqrt{17}$。

したがって、カキ = -4, クケ = 17。

$\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$ より、$4 < \sqrt{17} < 5$。

よって、$-4 - 5 < -4 - \sqrt{17} < -4 - 4$ より、$-9 < -4 - \sqrt{17} < -8$。

また、$-4 + 4 < -4 + \sqrt{17} < -4 + 5$ より、$0 < -4 + \sqrt{17} < 1$。

①と②を同時に満たすのは、

$x < -\frac{5}{3}$ と $-4 - \sqrt{17} < x < -4 + \sqrt{17}$ を同時に満たす $x$

または

$x > \frac{3}{2}$ と $-4 - \sqrt{17} < x < -4 + \sqrt{17}$ を同時に満たす $x$

$-4 - \sqrt{17} < x < -\frac{5}{3}$ または $\frac{3}{2} < x < -4 + \sqrt{17}$

$-8.123 < x < -1.666$ または $1.5 < x < 0.123$

$-8.123 < x < -1.666$を満たす整数は-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2。

$1.5 < x < 0.123$を満たす整数はない。

したがって、整数 $x$ の個数は7個。

(2)

$x^2 - x + 3 > 0$ について、判別式 $D = (-1)^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11 < 0$ なので、常に $x^2 - x + 3 > 0$ である。

したがって、解はすべての実数。

3. 最終的な答え

(1)

アイ = -5, ウ = 3, エ = 3, オ = 2

カキ = -4, クケ = 17

コ = 7

(2)

サ = すべての実数 (①)