不等式 $x^2 - 2x + m \geq 0$ が、指定された範囲 $-2 \leq x \leq 0$ で常に成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 - 2x + m \geq 0$ が、指定された範囲 $-2 \leq x \leq 0$ で常に成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 2x + m$ とおきます。この関数は下に凸な二次関数なので、指定された範囲 $-2 \leq x \leq 0$ で常に $f(x) \geq 0$ となる条件を考えます。

二次関数 $f(x)$ の軸は $x = 1$ であり、指定された範囲 $-2 \leq x \leq 0$ の外にあります。したがって、この範囲における $f(x)$ の最小値は $x=-2$ または $x=0$ でとります。

$f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) + m = 4 + 4 + m = 8 + m$

$f(0) = (0)^2 - 2(0) + m = m$

範囲 $-2 \leq x \leq 0$ で常に $f(x) \geq 0$ となるためには、$f(-2) \geq 0$ かつ $f(0) \geq 0$ である必要があります。

$8 + m \geq 0$ より、$m \geq -8$

$m \geq 0$

両方を満たす必要があるので、$m \geq 0$ となります。

3. 最終的な答え

$m \geq 0$