与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

-6 & 13 & 14 & 1 \\

1 & -2 & -2 & -8 \\

2 & -5 & 0 & 5

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行または列に関する余因子展開を使用します。ここでは、第1行に関して余因子展開を行います。

$$

\begin{aligned}

\det(A) &= 2 \cdot C_{11} + (-4) \cdot C_{12} + (-5) \cdot C_{13} + 3 \cdot C_{14} \\

\end{aligned}

$$

ここで、$C_{ij}$ は (i, j) 成分の余因子を表します。

$$

C_{11} = \begin{vmatrix} 13 & 14 & 1 \\ -2 & -2 & -8 \\ -5 & 0 & 5 \end{vmatrix}

$$

$$

C_{12} = (-1) \begin{vmatrix} -6 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -8 \\ 2 & 0 & 5 \end{vmatrix}

$$

$$

C_{13} = \begin{vmatrix} -6 & 13 & 1 \\ 1 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 5 \end{vmatrix}

$$

$$

C_{14} = (-1) \begin{vmatrix} -6 & 13 & 14 \\ 1 & -2 & -2 \\ 2 & -5 & 0 \end{vmatrix}

$$

それぞれの3x3行列式を計算します。

$$

C_{11} = 13(-10-0) - 14(-10-40) + 1(0-10) = -130 + 700 - 10 = 560

$$

$$

C_{12} = (-1)[-6(-10-0) - 14(5+16) + 1(0+4)] = (-1)[60 - 294 + 4] = (-1)[-230] = 230

$$

$$

C_{13} = -6(-10-40) - 13(5+16) + 1(-5+4) = 300 - 273 - 1 = 26

$$

$$

C_{14} = (-1)[-6(0-10) - 13(0+4) + 14(-5+4)] = (-1)[60 - 52 - 14] = (-1)[-6] = 6

$$

したがって、元の行列式は次のようになります。

$$

\det(A) = 2(560) - 4(230) - 5(26) + 3(6) = 1120 - 920 - 130 + 18 = 88

$$

3. 最終的な答え

88