与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

-6 & 13 & 14 & 1 \\

1 & -2 & -2 & -8 \\

2 & -5 & 0 & 5

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡略化します。

まず、1行目を基準にして、2行目以降の要素を0にします。

- 2行目に1行目の3倍を加えます: $R_2 \rightarrow R_2 + 3R_1$

- 3行目に1行目の-1/2倍を加えます: $R_3 \rightarrow R_3 - \frac{1}{2}R_1$

- 4行目に1行目の-1倍を加えます: $R_4 \rightarrow R_4 - R_1$

これにより、行列は以下のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -19/2 \\

0 & -1 & 5 & 2

\end{vmatrix}

$$

次に、2行目を基準にして、4行目の要素を0にします。

- 4行目に2行目を加えます: $R_4 \rightarrow R_4 + R_2$

これにより、行列は以下のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -19/2 \\

0 & 0 & 4 & 12

\end{vmatrix}

$$

最後に、3行目を基準にして、4行目の要素を0にします。

- 4行目に3行目の-8倍を加えます: $R_4 \rightarrow R_4 - 8R_3$

これにより、行列は以下のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -19/2 \\

0 & 0 & 0 & 88

\end{vmatrix}

$$

この行列は上三角行列であるため、行列式は対角要素の積となります。

行列式 = $2 * 1 * (1/2) * 88 = 88$

3. 最終的な答え

行列式は88です。