与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次のとおりです。 $ \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次のとおりです。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

-6 & 13 & 14 & 1 \\

1 & -2 & -2 & -8 \\

2 & -5 & 0 & 5

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡略化します。

ステップ1: 1行目を基準にして、他の行の第1列の要素を0にします。

* 2行目に1行目の3倍を加える ($R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1$)

* 3行目に1行目の-1/2倍を加える ($R_3 \leftarrow R_3 - \frac{1}{2}R_1$)

* 4行目に1行目の-1倍を加える ($R_4 \leftarrow R_4 - R_1$)

これにより、行列は次のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{19}{2} \\

0 & -1 & 5 & 2

\end{vmatrix}

$$

ステップ2: 3行目を基準にして、他の行の第2列の要素を0にします。

* 4行目に2行目を加える ($R_4 \leftarrow R_4 + R_2$)

これにより、行列は次のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{19}{2} \\

0 & 0 & 4 & 12

\end{vmatrix}

$$

ステップ3: 3行目を基準にして、4行目の第3列の要素を0にします。

* 4行目に3行目の-8倍を加える ($R_4 \leftarrow R_4 - 8R_3$)

これにより、行列は次のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{19}{2} \\

0 & 0 & 0 & 88

\end{vmatrix}

$$

ステップ4: 対角成分の積を計算します。

行列式は、$2 \times 1 \times \frac{1}{2} \times 88 = 88$ となります。

3. 最終的な答え

88