2次方程式 $9x^2 + 6x + k + 3 = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの $k$ の値の範囲と、重解を持つときの解を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $9x^2 + 6x + k + 3 = 0$ が異なる2つの実数解を持つときの $k$ の値の範囲と、重解を持つときの解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの実数解を持つ条件

2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が正である必要があります。

$D = b^2 - 4ac > 0$

今回の2次方程式の場合、$a=9$, $b=6$, $c=k+3$ なので、

$D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot (k+3) > 0$

$36 - 36(k+3) > 0$

$36 - 36k - 108 > 0$

$-36k - 72 > 0$

$-36k > 72$

$k < -2$

(2) 重解を持つ条件

2次方程式が重解を持つためには、判別式 $D$ が0である必要があります。

$D = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot (k+3) = 0$

$36 - 36(k+3) = 0$

$36 - 36k - 108 = 0$

$-36k - 72 = 0$

$-36k = 72$

$k = -2$

このとき、元の2次方程式は

$9x^2 + 6x + (-2) + 3 = 0$

$9x^2 + 6x + 1 = 0$

$(3x+1)^2 = 0$

$3x+1 = 0$

$x = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$k < -2$ より、アイ = -2

重解は $x = -\frac{1}{3}$ より、ウエ = -1, オ = 3