(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ のLU分解を求める。 (2) (1)の結果を利用して、連立方程式 $x_1 + 2x_2 - 4 = 0$ $3x_1 + 4x_2 + 4 = 0$ を解く。 (3) 連立方程式 $4x_1 + 2x_2 + x_3 = 11$ $2x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 17$ $x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 22$ の解をLU分解を用いて求める。

1. 問題の内容

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ のLU分解を求める。

(2) (1)の結果を利用して、連立方程式

$x_1 + 2x_2 - 4 = 0$

$3x_1 + 4x_2 + 4 = 0$

を解く。

(3) 連立方程式

$4x_1 + 2x_2 + x_3 = 11$

$2x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 17$

$x_1 + 3x_2 + 6x_3 = 22$

の解をLU分解を用いて求める。

2. 解き方の手順

(1) LU分解

行列 $A$ を下三角行列 $L$ と上三角行列 $U$ に分解する。

$A = LU$

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ に対して、

$U = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ となるように、1行目を3倍して2行目から引く。

この操作に対応する行列が

$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ である。

したがって、LU分解は

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

(2) 連立方程式の解

連立方程式は

$x_1 + 2x_2 = 4$

$3x_1 + 4x_2 = -4$

と書き直せる。

これは、$Ax = b$ の形であり、$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix}$ である。

$LUx = b$ を解くために、$Ly = b$ を解いて $y$ を求め、次に $Ux = y$ を解く。

$Ly = b$ は

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \end{pmatrix}$

なので、

$y_1 = 4$

$3y_1 + y_2 = -4 \implies y_2 = -4 - 3y_1 = -4 - 12 = -16$

よって、$y = \begin{pmatrix} 4 \\ -16 \end{pmatrix}$

次に、$Ux = y$ を解く。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -16 \end{pmatrix}$

$-2x_2 = -16 \implies x_2 = 8$

$x_1 + 2x_2 = 4 \implies x_1 = 4 - 2x_2 = 4 - 16 = -12$

よって、$x = \begin{pmatrix} -12 \\ 8 \end{pmatrix}$

(3) 連立方程式の解 (LU分解を用いて)

$A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}$

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$

$b = \begin{pmatrix} 11 \\ 17 \\ 22 \end{pmatrix}$

まず、ガウスの消去法で前進消去を行う。

1行目を1/2倍して2行目から引く。1行目を1/4倍して3行目から引く。

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 5/2 \\ 0 & 5/2 & 23/4 \end{pmatrix}$

次に、2行目を5/8倍して3行目から引く。

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 5/2 \\ 0 & 0 & 21/8 \end{pmatrix}$

$U = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 5/2 \\ 0 & 0 & 21/8 \end{pmatrix}$

$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 0 \\ 1/4 & 5/8 & 1 \end{pmatrix}$

$Ly = b$を解く。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & 1 & 0 \\ 1/4 & 5/8 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 17 \\ 22 \end{pmatrix}$

$y_1 = 11$

$y_2 = 17 - y_1/2 = 17 - 11/2 = 23/2$

$y_3 = 22 - y_1/4 - 5y_2/8 = 22 - 11/4 - 5(23/2)/8 = 22 - 11/4 - 115/16 = (352-44-115)/16 = 193/16$

$Ux = y$を解く。

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 5/2 \\ 0 & 0 & 21/8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 23/2 \\ 193/16 \end{pmatrix}$

$x_3 = \frac{193/16}{21/8} = \frac{193}{16} \cdot \frac{8}{21} = \frac{193}{42}$

$4x_2 + \frac{5}{2} x_3 = \frac{23}{2}$

$4x_2 = \frac{23}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{193}{42} = \frac{23}{2} - \frac{965}{84} = \frac{966 - 965}{84} = \frac{1}{84}$

$x_2 = \frac{1}{336}$

$4x_1 + 2x_2 + x_3 = 11$

$4x_1 = 11 - 2x_2 - x_3 = 11 - \frac{2}{336} - \frac{193}{42} = 11 - \frac{1}{168} - \frac{193}{42} = 11 - \frac{1}{168} - \frac{772}{168} = 11 - \frac{773}{168} = \frac{1848 - 773}{168} = \frac{1075}{168}$

$x_1 = \frac{1075}{672}$

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $x_1 = -12$, $x_2 = 8$

(3) $x_1 = \frac{1075}{672}$, $x_2 = \frac{1}{336}$, $x_3 = \frac{193}{42}$