与えられた行列 $A$ が正則かどうかを判定し、正則ならば逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ が正則かどうかを判定し、正則ならば逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $A = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$ の場合:

行列式を計算します。$det(A) = (5)(3) - (-7)(-2) = 15 - 14 = 1$。

行列式が0でないので、Aは正則です。

逆行列は、$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$で計算できます。

$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$

(2) $A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 6 \end{bmatrix}$ の場合:

行列式を計算します。$det(A) = (4)(6) - (3)(8) = 24 - 24 = 0$。

行列式が0なので、Aは正則ではありません。

(3) $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 7 \\ 7 & -1 & 5 \\ 5 & 3 & 11 \end{bmatrix}$ の場合:

行列式を計算します。

$det(A) = 3((-1)(11) - (5)(3)) - 2((7)(11) - (5)(5)) + 7((7)(3) - (-1)(5)) = 3(-11-15) - 2(77-25) + 7(21+5) = 3(-26) - 2(52) + 7(26) = -78 - 104 + 182 = 0$

行列式が0なので、Aは正則ではありません。

(4) $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$ の場合:

行列式を計算します。

$det(A) = 1((2)(2) - (2)(-2)) - 2((0)(2) - (2)(-1)) + 1((0)(-2) - (2)(-1)) = 1(4+4) - 2(0+2) + 1(0+2) = 8 - 4 + 2 = 6$

行列式が0でないので、Aは正則です。

逆行列を求めるために、余因子行列を計算し、転置します。

余因子行列は

$C = \begin{bmatrix} 8 & -2 & 2 \\ -6 & 3 & 0 \\ 2 & -2 & 2 \end{bmatrix}$

転置余因子行列 (随伴行列) は

$adj(A) = \begin{bmatrix} 8 & -6 & 2 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A)$

$A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 8 & -6 & 2 \\ -2 & 3 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/3 & -1 & 1/3 \\ -1/3 & 1/2 & -1/3 \\ 1/3 & 0 & 1/3 \end{bmatrix}$

(5) $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ の場合:

行列式を計算します。

$det(A) = 2((5)(-2) - (1)(0)) - 3((1)(-2) - (1)(1)) + (-1)((1)(0) - (5)(1)) = 2(-10-0) - 3(-2-1) - 1(0-5) = -20 - 3(-3) + 5 = -20 + 9 + 5 = -6$

行列式が0でないので、Aは正則です。

余因子行列は

$C = \begin{bmatrix} -10 & 3 & -5 \\ 6 & -3 & 3 \\ 8 & -3 & 7 \end{bmatrix}$

転置余因子行列 (随伴行列) は

$adj(A) = \begin{bmatrix} -10 & 6 & 8 \\ 3 & -3 & -3 \\ -5 & 3 & 7 \end{bmatrix}$

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A)$

$A^{-1} = \frac{1}{-6} \begin{bmatrix} -10 & 6 & 8 \\ 3 & -3 & -3 \\ -5 & 3 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5/3 & -1 & -4/3 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 5/6 & -1/2 & -7/6 \end{bmatrix}$

(6) $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & -3 & -3 \\ 3 & -2 & -2 \end{bmatrix}$ の場合:

行列式を計算します。

$det(A) = 4((-3)(-2) - (-3)(-2)) - 1((1)(-2) - (-3)(3)) + 2((1)(-2) - (-3)(3)) = 4(6 - 6) - 1(-2 + 9) + 2(-2 + 9) = 4(0) - 1(7) + 2(7) = 0 - 7 + 14 = 7$

行列式が0でないので、Aは正則です。

余因子行列は

$C = \begin{bmatrix} 0 & -7 & 7 \\ -2 & -14 & 11 \\ 3 & 14 & -13 \end{bmatrix}$

転置余因子行列 (随伴行列) は

$adj(A) = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 3 \\ -7 & -14 & 14 \\ 7 & 11 & -13 \end{bmatrix}$

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A)$

$A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{bmatrix} 0 & -2 & 3 \\ -7 & -14 & 14 \\ 7 & 11 & -13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2/7 & 3/7 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 11/7 & -13/7 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 正則。$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$

(2) 正則ではない。

(3) 正則ではない。

(4) 正則。$A^{-1} = \begin{bmatrix} 4/3 & -1 & 1/3 \\ -1/3 & 1/2 & -1/3 \\ 1/3 & 0 & 1/3 \end{bmatrix}$

(5) 正則。$A^{-1} = \begin{bmatrix} 5/3 & -1 & -4/3 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 5/6 & -1/2 & -7/6 \end{bmatrix}$

(6) 正則。$A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & -2/7 & 3/7 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 11/7 & -13/7 \end{bmatrix}$