問題 (4) では、行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A^2 - 2E_2$ を計算します。ここで、$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は2次の単位行列です。 問題 (5) では、(4) で与えられた行列Aに対して、$A^n$ を求めます。ただし、(4) の結果をヒントとして利用します。

1. 問題の内容

問題 (4) では、行列 $A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A^2 - 2E_2$ を計算します。ここで、$E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ は2次の単位行列です。

問題 (5) では、(4) で与えられた行列Aに対して、$A^n$ を求めます。ただし、(4) の結果をヒントとして利用します。

2. 解き方の手順

(4) $A^2 - 2E_2$ の計算

まず、$A^2$ を計算します。

$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(-2) + (-1)(2) & (-2)(-1) + (-1)(2) \\ (2)(-2) + (2)(2) & (2)(-1) + (2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 2 & 2 - 2 \\ -4 + 4 & -2 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

次に、$2E_2$ を計算します。

$2E_2 = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

最後に、$A^2 - 2E_2$ を計算します。

$A^2 - 2E_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(5) $A^n$ の計算

(4) の結果 $A^2 - 2E_2 = 0$ より、$A^2 = 2E_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ であることが分かります。

したがって、$A^2 = 2E_2$。このことから、

$A^3 = A^2 \cdot A = 2E_2 \cdot A = 2A$

$A^4 = A^2 \cdot A^2 = (2E_2)(2E_2) = 4E_2$

$A^5 = A^4 \cdot A = 4E_2 \cdot A = 4A$

$A^6 = A^4 \cdot A^2 = 4E_2 \cdot 2E_2 = 8E_2$

一般に、$A^{2k} = 2^k E_2$ および $A^{2k+1} = 2^k A$ と推測できます。

したがって、

$A^n = \begin{cases} 2^{n/2}E_2 & \text{if } n \text{ is even} \\ 2^{(n-1)/2}A & \text{if } n \text{ is odd} \end{cases}$

3. 最終的な答え

(4) $A^2 - 2E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

(5) $A^n = \begin{cases} 2^{n/2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & \text{if } n \text{ is even} \\ 2^{(n-1)/2} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} & \text{if } n \text{ is odd} \end{cases}$