実数 $a$ を定数とする。$x$ についての2つの不等式 $\frac{x+a}{2} - \frac{2x-a}{3} \leq 1$　…(1) $|x-a| < 3$ …(2) がある。(1)を解き、(1)と(2)を同時に満たす実数 $x$ が存在するように、$a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする。$x$ についての2つの不等式

$\frac{x+a}{2} - \frac{2x-a}{3} \leq 1$　…(1)

$|x-a| < 3$ …(2)

がある。(1)を解き、(1)と(2)を同時に満たす実数 $x$ が存在するように、$a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式(1)を解く。

両辺に6を掛けて分母を払う。

$3(x+a) - 2(2x-a) \leq 6$

$3x + 3a - 4x + 2a \leq 6$

$-x + 5a \leq 6$

$-x \leq 6 - 5a$

$x \geq 5a - 6$

したがって、(1)の解は $x \geq 5a - 6$ である。

次に、不等式(2)を解く。

$|x-a| < 3$ は $-3 < x - a < 3$ と同値である。

各辺に $a$ を加えると、$a - 3 < x < a + 3$ となる。

したがって、(2)の解は $a - 3 < x < a + 3$ である。

(1)と(2)を満たす実数 $x$ が存在するためには、$x$ の範囲が重なる必要がある。

つまり、$5a - 6 < a + 3$ かつ $5a - 6 > a - 3$ が必要である。

$5a - 6 < a + 3$ より、

$4a < 9$

$a < \frac{9}{4}$

$a - 3 < 5a - 6$ より、

$-4a < -3$

$4a > 3$

$a > \frac{3}{4}$

したがって、$\frac{3}{4} < a < \frac{9}{4}$ である。

3. 最終的な答え

(1)の解は $x \geq 5a-6$ である。

$a$ の値の範囲は $\frac{3}{4} < a < \frac{9}{4}$ である。