数列 $3, 5, 8, 14, 25, 43, 80, 148, 273$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。最後の数列は画像から推定しました。

1. 問題の内容

数列 $3, 5, 8, 14, 25, 43, 80, 148, 273$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。最後の数列は画像から推定しました。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を求め、さらにその階差数列を求めることを繰り返します。

まず、与えられた数列を $a_n$ とします。

$a_n: 3, 5, 8, 14, 25, 43, 80, 148, 273, ...$

1階差数列 $b_n$ を求めます。

$b_n: 2, 3, 6, 11, 18, 37, 68, 125, ...$

2階差数列 $c_n$ を求めます。

$c_n: 1, 3, 5, 7, 19, 31, 57, ...$

3階差数列 $d_n$ を求めます。

$d_n: 2, 2, 2, 12, 12, 26, ...$

4階差数列 $e_n$ を求めます。

$e_n: 0, 0, 10, 0, 14, ...$

数列 $a_n$ は階差数列を繰り返すことで、規則性が見えてくる場合があります。しかし、上記の数列では規則性を見つけるのが難しいです。

与えられた数列の最初の数項から、この数列はフィボナッチ数列に似ていることがわかります。

$a_1=3, a_2=5, a_3=8$であり、$a_3 = a_1 + a_2$が成り立ちます。

しかし、$a_4 = 14 \ne a_2 + a_3 = 5 + 8 = 13$なので、単純なフィボナッチ数列ではありません。

しかし、 $a_n \approx a_{n-1} + a_{n-2}$の傾向が見られるので、3項間漸化式を仮定して解いてみます。

$a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n$ の形の漸化式を考えます。

$a_3 = p a_2 + q a_1$ より $8 = 5p + 3q$

$a_4 = p a_3 + q a_2$ より $14 = 8p + 5q$

この連立方程式を解きます。

$40 = 25p + 15q$

$42 = 24p + 15q$

$-2 = p$, $8 = -10 + 3q$, $18=3q$, $q=6$

したがって、$a_{n+2} = -2 a_{n+1} + 6 a_n$ となります。

しかし、この漸化式で数列を生成すると、元の数列と一致しません。

数列は $a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3}$を満たします。

$3+5+8=16 \approx 14$.

$5+8+14=27\approx25$

$8+14+25=47\approx43$

この問題は正確な一般項を求めるのが困難であると思われます。

3. 最終的な答え

正確な一般項を求めることは困難です。