$a > 0, b > 0$ のとき、次の式を計算する問題です。 (1) $(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}})^2$ (2) $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ (3) $(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$

1. 問題の内容

$a > 0, b > 0$ のとき、次の式を計算する問題です。

(1) $(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}})^2$

(2) $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$

(3) $(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$

2. 解き方の手順

(1) $(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}})^2$ を展開します。

$(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 2(a^{\frac{1}{2}})(a^{-\frac{1}{2}}) + (a^{-\frac{1}{2}})^2 = a - 2a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} + a^{-1} = a - 2a^0 + \frac{1}{a} = a - 2 + \frac{1}{a}$

(2) $(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ を展開します。これは和と差の積の形なので、$A^2 - B^2$ を利用します。

$(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = a - b$

(3) $(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$ を展開します。これは $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$ の形を利用します。

$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) = (a^{\frac{1}{3}})^3 - (b^{\frac{1}{3}})^3 = a - b$

3. 最終的な答え

(1) $a - 2 + \frac{1}{a}$

(2) $a - b$

(3) $a - b$