(1) $(3x-2)^5$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める。 (2) $(x-2y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

(1) $(3x-2)^5$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める。

(2) $(x-2y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いて $(3x-2)^5$ を展開する。$x^4$ の項は、$(3x)^4(-2)^1$ の形になる。

二項定理より、$(3x-2)^5$ の一般項は、

$${}_5C_k (3x)^k (-2)^{5-k}$$

$x^4$ の項は、$k=4$ のときなので、

$${}_5C_4 (3x)^4 (-2)^{5-4} = {}_5C_4 (3x)^4 (-2)^1 = 5 \cdot 81x^4 \cdot (-2) = -810x^4$$

よって、$x^4$ の係数は $-810$ である。

(2) 二項定理を用いて $(x-2y)^6$ を展開する。$x^3y^3$ の項は、$x^3(-2y)^3$ の形になる。

二項定理より、$(x-2y)^6$ の一般項は、

$${}_6C_k (x)^k (-2y)^{6-k}$$

$x^3y^3$ の項は、$k=3$ のときなので、

$${}_6C_3 (x)^3 (-2y)^{6-3} = {}_6C_3 (x)^3 (-2y)^3 = 20 \cdot x^3 \cdot (-8y^3) = -160x^3y^3$$

よって、$x^3y^3$ の係数は $-160$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x^4$ の係数：$-810$

(2) $x^3y^3$ の係数：$-160$