与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 8 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 0 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) 余因子行列（随伴行列）$\tilde{A}$ を求めます。 (2) 行列 $A$ の行列式 $\det A$ を計算します。 (3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 8 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 0 \end{bmatrix}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) 余因子行列（随伴行列）$\tilde{A}$ を求めます。

(2) 行列 $A$ の行列式 $\det A$ を計算します。

(3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余因子行列（随伴行列）$\tilde{A}$ の計算:

まず、行列 $A$ の各要素に対する余因子を計算します。余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた小行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものです。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \det \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = (1)(1\cdot0 - 1\cdot3) = -3$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \det \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = (-1)(2\cdot0 - 1\cdot5) = 5$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \det \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = (1)(2\cdot3 - 1\cdot5) = 1$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \det \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = (-1)(3\cdot0 - 5\cdot3) = 15$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \det \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} = (1)(8\cdot0 - 5\cdot5) = -25$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \det \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = (-1)(8\cdot3 - 3\cdot5) = -9$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \det \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = (1)(3\cdot1 - 5\cdot1) = -2$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \det \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = (-1)(8\cdot1 - 5\cdot2) = 2$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \det \begin{bmatrix} 8 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = (1)(8\cdot1 - 3\cdot2) = 2$

余因子行列は、余因子を並べた行列の転置です。

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 15 & -2 \\ 5 & -25 & 2 \\ 1 & -9 & 2 \end{bmatrix}$

(2) 行列 $A$ の行列式 $\det A$ の計算:

行列式は、第一行で展開することで計算できます。

$\det A = 8 \cdot \det \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} - 3 \cdot \det \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 0 \end{bmatrix} + 5 \cdot \det \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$

$\det A = 8(1\cdot0 - 1\cdot3) - 3(2\cdot0 - 1\cdot5) + 5(2\cdot3 - 1\cdot5) = 8(-3) - 3(-5) + 5(1) = -24 + 15 + 5 = -4$

(3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の計算:

逆行列は、余因子行列を行列式で割ることで求められます。

$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \tilde{A} = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} -3 & 15 & -2 \\ 5 & -25 & 2 \\ 1 & -9 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{15}{4} & \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{4} & \frac{25}{4} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{4} & \frac{9}{4} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 余因子行列 $\tilde{A} = \begin{bmatrix} -3 & 15 & -2 \\ 5 & -25 & 2 \\ 1 & -9 & 2 \end{bmatrix}$

(2) 行列式 $\det A = -4$

(3) 逆行列 $A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{15}{4} & \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{4} & \frac{25}{4} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{4} & \frac{9}{4} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$