$g(x) = x^2 - (ax + \frac{3}{4}a^2) = x^2 - ax - \frac{3}{4}a^2$ とおく。 $g(x) = 0$ となる $x$ を求めると、 $x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 3a^2}}{2} = \frac{a \pm 2a}{2}$ $x = \frac{3}{2}a, -\frac{a}{2}$ となる。 $a > 0$ より、$-\frac{a}{2} < \frac{3}{2}a$ であり、$g(x)$ は下に凸な放物線なので、$x < -\frac{a}{2}$ または $x > \frac{3}{2}a$ のとき $g(x) > 0$ であり、 $-\frac{a}{2} < x < \frac{3}{2}a$ のとき $g(x) < 0$ である。

## 問題の内容

正の定数 $a$ に対して、関数 $f(x) = |x^2 - (ax + \frac{3}{4}a^2)| + ax + \frac{3}{4}a^2$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値を求める。

## 解き方の手順

1. 絶対値の中身の符号を調べる：

$g(x) = x^2 - (ax + \frac{3}{4}a^2) = x^2 - ax - \frac{3}{4}a^2$ とおく。

$g(x) = 0$ となる $x$ を求めると、

$x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 3a^2}}{2} = \frac{a \pm 2a}{2}$

$x = \frac{3}{2}a, -\frac{a}{2}$ となる。

$a > 0$ より、$-\frac{a}{2} < \frac{3}{2}a$ であり、$g(x)$ は下に凸な放物線なので、$x < -\frac{a}{2}$ または $x > \frac{3}{2}a$ のとき $g(x) > 0$ であり、 $-\frac{a}{2} < x < \frac{3}{2}a$ のとき $g(x) < 0$ である。

2. 絶対値を外す：

(i) $x^2 - (ax + \frac{3}{4}a^2) \ge 0$ のとき、つまり $x \le -\frac{a}{2}$ または $x \ge \frac{3}{2}a$ のとき

$f(x) = x^2 - (ax + \frac{3}{4}a^2) + ax + \frac{3}{4}a^2 = x^2$

(ii) $x^2 - (ax + \frac{3}{4}a^2) < 0$ のとき、つまり $-\frac{a}{2} < x < \frac{3}{2}a$ のとき

$f(x) = -(x^2 - (ax + \frac{3}{4}a^2)) + ax + \frac{3}{4}a^2 = -x^2 + 2ax + \frac{3}{2}a^2$

3. 場合分けと最大値の検討：

定義域は $-1 \le x \le 1$ であることに注意する。

(i) $1 \le -\frac{a}{2}$ のとき、つまり $a \le -2$ のとき、これは $a > 0$ に矛盾するので、ありえない。

(ii) $-\frac{a}{2} \le -1$ のとき、つまり $a \ge 2$ のとき、$-1 \le x \le 1$ において $x^2 - (ax + \frac{3}{4}a^2) < 0$ である。

$f(x) = -x^2 + 2ax + \frac{3}{2}a^2 = -(x-a)^2 + a^2 + \frac{3}{2}a^2 = -(x-a)^2 + \frac{5}{2}a^2$

軸は $x = a$ である。$a \ge 2$ なので、$-1 \le x \le 1$ において $x = 1$ で最大となる。

$f(1) = -1 + 2a + \frac{3}{2}a^2 = \frac{3}{2}a^2 + 2a - 1$

(iii) $-1 < -\frac{a}{2} < 1$ のとき、つまり $-2 < a < 2$ のとき

(a) $\frac{3}{2}a \le 1$ のとき、つまり $a \le \frac{2}{3}$ のとき、$f(x) = -x^2 + 2ax + \frac{3}{2}a^2$ であり、軸 $x=a$ は $-1 \le x \le 1$ の範囲内である。よって $x = a$ のとき最大値 $\frac{5}{2}a^2$ をとる。

(b) $\frac{3}{2}a > 1$ のとき、つまり $a > \frac{2}{3}$ のとき、$-\frac{a}{2} < x < 1$ で $f(x) = -x^2 + 2ax + \frac{3}{2}a^2$ であり、$-1 \le x \le -\frac{a}{2}$ で $f(x)=x^2$ である。

$x = a$ で最大となる可能性があるが、$a > 1$ であるため、最大値は$x=1$でとる。したがって$f(1)=-1 + 2a + \frac{3}{2}a^2 = \frac{3}{2}a^2 + 2a - 1$

(iv) $\frac{3}{2}a \ge -1$ のとき、これは $a \ge -\frac{2}{3}$ であり、これは $a > 0$ を満たすので、常に成り立つ。

(v) $\frac{3}{2}a \le -1$ のとき、これは $a \le -\frac{2}{3}$ であり、$a > 0$ に矛盾するためありえない。

まとめると、

* $0 < a \le \frac{2}{3}$ のとき、最大値は $\frac{5}{2}a^2$

* $\frac{2}{3} < a < 2$ のとき、最大値は $\frac{3}{2}a^2 + 2a - 1$

* $a \ge 2$ のとき、最大値は $\frac{3}{2}a^2 + 2a - 1$

まとめると

* $0 < a \le \frac{2}{3}$ のとき、最大値は $\frac{5}{2}a^2$

* $a > \frac{2}{3}$ のとき、最大値は $\frac{3}{2}a^2 + 2a - 1$

## 最終的な答え

$0 < a \le \frac{2}{3}$ のとき、最大値は $\frac{5}{2}a^2$

$a > \frac{2}{3}$ のとき、最大値は $\frac{3}{2}a^2 + 2a - 1$