(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ を展開したときの $x^4$ の係数と $x^3$ の係数を求める。 (2) $x = \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$, $y = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ のとき、$xy$, $x^2-y^2$, $x^3+y^3$ の値を求める。 (3) 不等式 $|5x+2|-|3x-2| \ge 2$ を満たす $x$ の範囲を求める。 (4) 放物線 $y=3x^2-x+4$ と原点に関して対称となる放物線をグラフとする2次関数を求める。

1. 問題の内容

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)$ を展開したときの $x^4$ の係数と $x^3$ の係数を求める。

(2) $x = \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$, $y = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ のとき、$xy$, $x^2-y^2$, $x^3+y^3$ の値を求める。

(3) 不等式 $|5x+2|-|3x-2| \ge 2$ を満たす $x$ の範囲を求める。

(4) 放物線 $y=3x^2-x+4$ と原点に関して対称となる放物線をグラフとする2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

展開式における $x^4$ の係数は、5つの因数 $(x+1)$, $(x+2)$, $(x+3)$, $(x+4)$, $(x+5)$ から1つだけ $x$ を選び、残りの4つから定数を選ぶ場合の数です。つまり、定数の和になります。

$x^4$ の係数は $1+2+3+4+5 = 15$ です。

展開式における $x^3$ の係数は、5つの因数から2つだけ $x$ を選び、残りの3つから定数を選ぶ場合の数です。つまり、定数の積の組み合わせの和になります。

$x^3$ の係数は

$1\cdot2+1\cdot3+1\cdot4+1\cdot5+2\cdot3+2\cdot4+2\cdot5+3\cdot4+3\cdot5+4\cdot5$

$=2+3+4+5+6+8+10+12+15+20 = 85$ です。

(2)

$x = \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \frac{2(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$

$xy = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2} = \frac{7-3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = (\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}) = (\frac{2\sqrt{7}}{2})(\frac{-2\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{7}(-\sqrt{3}) = -\sqrt{21}$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$

$x+y = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2} = \sqrt{7}$

$x^3 + y^3 = \sqrt{7}((\sqrt{7})^2 - 3\cdot1) = \sqrt{7}(7-3) = 4\sqrt{7}$

(3)

$|5x+2|-|3x-2| \ge 2$

場合分けが必要。

(i) $x \ge \frac{2}{3}$ のとき

$5x+2 - (3x-2) \ge 2$

$2x+4 \ge 2$

$2x \ge -2$

$x \ge -1$

よって、$x \ge \frac{2}{3}$

(ii) $-\frac{2}{5} \le x < \frac{2}{3}$ のとき

$5x+2 - (-(3x-2)) \ge 2$

$5x+2 + 3x - 2 \ge 2$

$8x \ge 2$

$x \ge \frac{1}{4}$

よって、$\frac{1}{4} \le x < \frac{2}{3}$

(iii) $x < -\frac{2}{5}$ のとき

$-(5x+2) - (-(3x-2)) \ge 2$

$-5x-2 + 3x - 2 \ge 2$

$-2x - 4 \ge 2$

$-2x \ge 6$

$x \le -3$

よって、$x \le -3$

したがって、$x \le -3$ または $x \ge \frac{1}{4}$

(4)

$y = 3x^2-x+4$

原点に関して対称な放物線は、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えることで得られる。

$-y = 3(-x)^2 - (-x) + 4$

$-y = 3x^2 + x + 4$

$y = -3x^2 - x - 4$

3. 最終的な答え

(1) $x^4$ の係数: 15, $x^3$ の係数: 85

(2) $xy = 1$, $x^2-y^2 = -\sqrt{21}$, $x^3+y^3 = 4\sqrt{7}$

(3) $x \le -3$ または $x \ge \frac{1}{4}$

(4) $y = -3x^2 - x - 4$