行列 $A = \begin{bmatrix} x & 9 & -9 \\ y & -7 & -6 \\ z & 9 & -2 \end{bmatrix}$ の行列式を、第1列に沿って余因子展開する問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} x & 9 & -9 \\ y & -7 & -6 \\ z & 9 & -2 \end{bmatrix}$ の行列式を、第1列に沿って余因子展開する問題です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の行列式を第1列で余因子展開すると、次のようになります。

$\det(A) = x \cdot C_{11} + y \cdot C_{21} + z \cdot C_{31}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i,j)$ 成分の余因子を表します。

$C_{11}$ は、第1行と第1列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{1+1} = 1$ をかけたものです。つまり、

$C_{11} = \det \begin{bmatrix} -7 & -6 \\ 9 & -2 \end{bmatrix}$

$C_{21}$ は、第2行と第1列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{2+1} = -1$ をかけたものです。つまり、

$C_{21} = (-1) \det \begin{bmatrix} 9 & -9 \\ 9 & -2 \end{bmatrix}$

$C_{31}$ は、第3行と第1列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{3+1} = 1$ をかけたものです。つまり、

$C_{31} = \det \begin{bmatrix} 9 & -9 \\ -7 & -6 \end{bmatrix}$

したがって、余因子展開は次のようになります。

$\det(A) = x \det \begin{bmatrix} -7 & -6 \\ 9 & -2 \end{bmatrix} - y \det \begin{bmatrix} 9 & -9 \\ 9 & -2 \end{bmatrix} + z \det \begin{bmatrix} 9 & -9 \\ -7 & -6 \end{bmatrix}$

それぞれの2x2行列の行列式を計算します。

$\det \begin{bmatrix} -7 & -6 \\ 9 & -2 \end{bmatrix} = (-7)(-2) - (-6)(9) = 14 + 54 = 68$

$\det \begin{bmatrix} 9 & -9 \\ 9 & -2 \end{bmatrix} = (9)(-2) - (-9)(9) = -18 + 81 = 63$

$\det \begin{bmatrix} 9 & -9 \\ -7 & -6 \end{bmatrix} = (9)(-6) - (-9)(-7) = -54 - 63 = -117$

$\det(A) = x (68) - y (63) + z (-117) = 68x - 63y - 117z$

3. 最終的な答え

$\det A = x \det \begin{bmatrix} -7 & -6 \\ 9 & -2 \end{bmatrix} - y \det \begin{bmatrix} 9 & -9 \\ 9 & -2 \end{bmatrix} + z \det \begin{bmatrix} 9 & -9 \\ -7 & -6 \end{bmatrix}$

$\det \begin{bmatrix} -7 & -6 \\ 9 & -2 \end{bmatrix} = 68$

$\det \begin{bmatrix} 9 & -9 \\ 9 & -2 \end{bmatrix} = 63$

$\det \begin{bmatrix} 9 & -9 \\ -7 & -6 \end{bmatrix} = -117$