3.(1) 多項式 $4x^3 + 7x + 3$ を多項式 $2x - 3$ で割ったときの商と余りを求める。 3.(2) 多項式 $x^3 - x^2 + 3x + 1$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $x-2$、余りが $2x+7$ である。$B$ を求める。 4.(1) $\frac{(-2ab)^2}{xy} \times \frac{x^4y^2}{-ab^2}$ を計算する。 4.(2) $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - x - 12} \div \frac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6}$ を計算する。 4.(3) $\frac{x}{x^2 - 8x + 15} + \frac{x}{x^2 - 12x + 35}$ を計算する。 4.(4) $\frac{2x - 1}{x^2 - x - 20} - \frac{2x + 1}{x^2 + x - 30}$ を計算する。 5.(1) $x^3 - x^2 + ax + 2 = (x-1)^3 + b(x-2)^2 + c(x-3) + 4$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める。 5.(2) $\frac{7x-2}{x^3 - 8} = \frac{a}{x-2} + \frac{bx+c}{x^2+2x+4}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める。

1. 問題の内容

3.(1) 多項式 $4x^3 + 7x + 3$ を多項式 $2x - 3$ で割ったときの商と余りを求める。

3.(2) 多項式 $x^3 - x^2 + 3x + 1$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $x-2$、余りが $2x+7$ である。$B$ を求める。

4.(1) $\frac{(-2ab)^2}{xy} \times \frac{x^4y^2}{-ab^2}$ を計算する。

4.(2) $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - x - 12} \div \frac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6}$ を計算する。

4.(3) $\frac{x}{x^2 - 8x + 15} + \frac{x}{x^2 - 12x + 35}$ を計算する。

4.(4) $\frac{2x - 1}{x^2 - x - 20} - \frac{2x + 1}{x^2 + x - 30}$ を計算する。

5.(1) $x^3 - x^2 + ax + 2 = (x-1)^3 + b(x-2)^2 + c(x-3) + 4$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める。

5.(2) $\frac{7x-2}{x^3 - 8} = \frac{a}{x-2} + \frac{bx+c}{x^2+2x+4}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める。

2. 解き方の手順

3.(1) 筆算または組み立て除法を用いて、$4x^3 + 7x + 3$ を $2x - 3$ で割る。

$4x^3 + 7x + 3 = (2x - 3)(2x^2 + 3x + 8) + 27$

3.(2) 割り算の原理より、

$x^3 - x^2 + 3x + 1 = B(x-2) + 2x + 7$

$B(x-2) = x^3 - x^2 + 3x + 1 - (2x + 7)$

$B(x-2) = x^3 - x^2 + x - 6$

$B = \frac{x^3 - x^2 + x - 6}{x-2}$

筆算または組み立て除法を用いて、$x^3 - x^2 + x - 6$ を $x - 2$ で割る。

$x^3 - x^2 + x - 6 = (x-2)(x^2 + x + 3)$

$B = x^2 + x + 3$

4.(1) $\frac{(-2ab)^2}{xy} \times \frac{x^4y^2}{-ab^2} = \frac{4a^2b^2}{xy} \times \frac{x^4y^2}{-ab^2} = \frac{4a^2b^2 x^4 y^2}{-ab^2 xy} = -4ax^3y$

4.(2) $\frac{x^2 - 2x}{x^2 - x - 12} \div \frac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6} = \frac{x(x-2)}{(x-4)(x+3)} \times \frac{(x+2)(x+3)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x}{x-4}$

4.(3) $\frac{x}{x^2 - 8x + 15} + \frac{x}{x^2 - 12x + 35} = \frac{x}{(x-3)(x-5)} + \frac{x}{(x-5)(x-7)} = \frac{x(x-7) + x(x-3)}{(x-3)(x-5)(x-7)} = \frac{x^2 - 7x + x^2 - 3x}{(x-3)(x-5)(x-7)} = \frac{2x^2 - 10x}{(x-3)(x-5)(x-7)} = \frac{2x(x-5)}{(x-3)(x-5)(x-7)} = \frac{2x}{(x-3)(x-7)} = \frac{2x}{x^2 - 10x + 21}$

4.(4) $\frac{2x - 1}{x^2 - x - 20} - \frac{2x + 1}{x^2 + x - 30} = \frac{2x - 1}{(x-5)(x+4)} - \frac{2x + 1}{(x+6)(x-5)} = \frac{(2x-1)(x+6) - (2x+1)(x+4)}{(x-5)(x+4)(x+6)} = \frac{2x^2 + 12x - x - 6 - (2x^2 + 8x + x + 4)}{(x-5)(x+4)(x+6)} = \frac{2x^2 + 11x - 6 - 2x^2 - 9x - 4}{(x-5)(x+4)(x+6)} = \frac{2x - 10}{(x-5)(x+4)(x+6)} = \frac{2(x-5)}{(x-5)(x+4)(x+6)} = \frac{2}{(x+4)(x+6)} = \frac{2}{x^2 + 10x + 24}$

5.(1) $x^3 - x^2 + ax + 2 = (x-1)^3 + b(x-2)^2 + c(x-3) + 4$

$x^3 - x^2 + ax + 2 = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + b(x^2 - 4x + 4) + c(x-3) + 4$

$x^3 - x^2 + ax + 2 = x^3 + (-3+b)x^2 + (3-4b+c)x + (-1+4b-3c+4)$

係数比較より、

$-1 = -3 + b \implies b = 2$

$a = 3 - 4b + c = 3 - 4(2) + c = 3 - 8 + c = -5 + c$

$2 = -1 + 4b - 3c + 4 = 3 + 4(2) - 3c = 3 + 8 - 3c = 11 - 3c$

$-9 = -3c \implies c = 3$

$a = -5 + c = -5 + 3 = -2$

5.(2) $\frac{7x-2}{x^3 - 8} = \frac{a}{x-2} + \frac{bx+c}{x^2+2x+4}$

$x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$

$\frac{7x-2}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{a(x^2+2x+4) + (bx+c)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}$

$7x-2 = a(x^2+2x+4) + (bx+c)(x-2)$

$7x-2 = ax^2 + 2ax + 4a + bx^2 - 2bx + cx - 2c$

$7x-2 = (a+b)x^2 + (2a-2b+c)x + (4a-2c)$

係数比較より、

$a+b = 0 \implies b = -a$

$2a-2b+c = 7 \implies 2a + 2a + c = 4a + c = 7$

$4a-2c = -2 \implies 2a-c = -1$

$4a+c = 7$

$2a-c = -1$

足して $6a = 6 \implies a = 1$

$b = -a = -1$

$2a - c = -1 \implies 2(1) - c = -1 \implies 2-c = -1 \implies c = 3$

3. 最終的な答え

3.(1) 商: $2x^2 + 3x + 8$, 余り: $27$

3.(2) $B = x^2 + x + 3$

4.(1) $-4ax^3y$

4.(2) $\frac{x}{x-4}$

4.(3) $\frac{2x}{x^2 - 10x + 21}$

4.(4) $\frac{2}{x^2 + 10x + 24}$

5.(1) $a = -2, b = 2, c = 3$

5.(2) $a = 1, b = -1, c = 3$