与えられた二つの行列式の値を計算し、因数分解された形で答える。 (1) $\begin{vmatrix} x & 0 & 0 & 1 \\ 0 & x & 2 & 0 \\ 0 & 2 & x & 0 \\ 1 & 0 & 0 & x \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} x & 1 & 2 & 1 \\ 1 & x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 1 & 2 & 1 & x \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた二つの行列式の値を計算し、因数分解された形で答える。

(1) $\begin{vmatrix} x & 0 & 0 & 1 \\ 0 & x & 2 & 0 \\ 0 & 2 & x & 0 \\ 1 & 0 & 0 & x \end{vmatrix}$

(2) $\begin{vmatrix} x & 1 & 2 & 1 \\ 1 & x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 1 & 2 & 1 & x \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

行列式を計算するために、1行目に関して余因子展開を行う。

$\begin{vmatrix} x & 0 & 0 & 1 \\ 0 & x & 2 & 0 \\ 0 & 2 & x & 0 \\ 1 & 0 & 0 & x \end{vmatrix} = x \begin{vmatrix} x & 2 & 0 \\ 2 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{vmatrix} - 0 + 0 - 1 \begin{vmatrix} 0 & x & 2 \\ 0 & 2 & x \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

次に、残りの行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} x & 2 & 0 \\ 2 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{vmatrix} = x \begin{vmatrix} x & 2 \\ 2 & x \end{vmatrix} = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2)$

$\begin{vmatrix} 0 & x & 2 \\ 0 & 2 & x \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} x & 2 \\ 2 & x \end{vmatrix} = x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

したがって、

$x(x(x-2)(x+2)) - (x-2)(x+2) = x^2(x-2)(x+2) - (x-2)(x+2) = (x^2-1)(x-2)(x+2) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

(2)

行列式を計算する。

$\begin{vmatrix} x & 1 & 2 & 1 \\ 1 & x & 1 & 2 \\ 2 & 1 & x & 1 \\ 1 & 2 & 1 & x \end{vmatrix}$

行列のすべての行の合計は $x+4$ であることに注目する。そこで、第1列に他のすべての列を加算すると、次のようになる。

$\begin{vmatrix} x+4 & 1 & 2 & 1 \\ x+4 & x & 1 & 2 \\ x+4 & 1 & x & 1 \\ x+4 & 2 & 1 & x \end{vmatrix} = (x+4) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & x & 1 & 2 \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & 2 & 1 & x \end{vmatrix}$

今、すべての行から最初の行を引く。

$(x+4) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & x-1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & x-2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & x-1 \end{vmatrix}$

最初の列に関して余因子展開を行う。

$(x+4) \begin{vmatrix} x-1 & -1 & 1 \\ 0 & x-2 & 0 \\ 1 & -1 & x-1 \end{vmatrix}$

次に、2行目に関して余因子展開を行う。

$(x+4)(x-2) \begin{vmatrix} x-1 & 1 \\ 1 & x-1 \end{vmatrix} = (x+4)(x-2)((x-1)^2 - 1) = (x+4)(x-2)(x^2 - 2x + 1 - 1) = (x+4)(x-2)(x^2 - 2x) = (x+4)(x-2)x(x-2) = x(x+4)(x-2)^2$

3. 最終的な答え

(1) $(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)$

(2) $x(x-2)^2(x+4)$