与えられた4x4行列の行列式を計算します。 行列は次のとおりです。 $\begin{bmatrix} 0 & b & a & 0 \\ g & 0 & e & f \\ h & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & d \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。

行列は次のとおりです。

$\begin{bmatrix}

0 & b & a & 0 \\

g & 0 & e & f \\

h & i & 0 & 0 \\

0 & 0 & c & d

\end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず1行目について余因子展開を行います。

$\det(A) = 0 \cdot C_{11} + b \cdot C_{12} + a \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{14} = b \cdot C_{12} + a \cdot C_{13}$

ここで、$C_{ij}$は(i, j)要素の余因子を表します。

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} g & e & f \\ h & 0 & 0 \\ 0 & c & d \end{vmatrix} = (-1)(g(0 - 0) - e(hd - 0) + f(hc - 0)) = -(-ehd + fhc) = ehd - fhc$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} g & 0 & f \\ h & i & 0 \\ 0 & 0 & d \end{vmatrix} = (1)(g(id - 0) - 0 + f(0 - 0)) = gid$

したがって、行列式は次のようになります。

$\det(A) = b(ehd - fhc) + a(gid) = behd - bchf + agid = (behd - bcfh) + agid$

よって、求める行列式は$beh d - bcf h + agid$となります。順番を整理して $agid + behd - bcfh$ と書くこともできます。

3. 最終的な答え

agid + behd - bcfh