与えられた5x5行列の行列式を計算します。

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列をAとします。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ -3 & 2 & -1 & -10 & -7 \\ 1 & -1 & 3 & 9 & 10 \end{bmatrix}$

行列式を計算するために、行列の性質を利用して計算を簡略化します。まず、1行目に3を掛けたものを4行目に加え、1行目に-1を掛けたものを5行目に加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 & -4 & -10 \\ 0 & -1 & 3 & 7 & 11 \end{bmatrix}$

次に、2行目に-2を掛けたものを4行目に加え、2行目を1倍したものを5行目に加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 & -6 \\ 0 & 0 & 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$

次に、3行目を4行目に加え、3行目に-3を掛けたものを5行目に加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

最後に、4行目に3を掛けたものを5行目に加えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 \end{bmatrix}$

この行列は上三角行列であるため、行列式は対角成分の積として計算できます。

$det(A) = 1 \times 1 \times 1 \times (-1) \times (-9) = 9$

3. 最終的な答え

9