与えられた実対称行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ を直交行列によって対角化する。

1. 問題の内容

与えられた実対称行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ を直交行列によって対角化する。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解く。ここで、$I$は単位行列である。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) - (2-\lambda - 1) + (1 - (2-\lambda)) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) - (1-\lambda) + (\lambda - 1) = (2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-3) = -\lambda^3 + 8\lambda^2 - 19\lambda + 12 = -(\lambda - 1)(\lambda-3)(\lambda-4)$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3, \lambda_3 = 4$ である。

(2) 各固有値に対する固有ベクトルを求める。

- $\lambda_1 = 1$ のとき、$(A - I)v_1 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y + z = 0$

$x = 1, y = -1, z = 0$ と $x = 1, y = 0, z = -1$ を選ぶと、固有ベクトルは $v_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $v_{12} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ となる。

これらを直交化（グラム・シュミットの直交化法）して正規化する。

$w_{11} = v_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$. $||w_{11}|| = \sqrt{2}$ なので、$u_{11} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

$w_{12} = v_{12} - \frac{v_{12} \cdot w_{11}}{w_{11} \cdot w_{11}} w_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ -1 \end{pmatrix}$

$w_{12}$ に $2$ をかけて $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ としてもよい。$||w_{12}|| = \sqrt{6}$ なので、$u_{12} = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.

- $\lambda_2 = 3$ のとき、$(A - 3I)v_2 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + y + z = 0, x - y + z = 0, x + y - z = 0$

$x = y = z$ なので、$x = y = z = 1$ とすると、固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。

$||v_2|| = \sqrt{3}$ なので、$u_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

- $\lambda_3 = 4$ のとき、誤りがあります。固有値は1, 1, 4となります。

特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解く。ここで、$I$は単位行列である。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)((2-\lambda)^2 - 1) - (2-\lambda - 1) + (1 - (2-\lambda)) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 3) - (1-\lambda) + (\lambda - 1) = (2-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-3) = -\lambda^3 + 6\lambda^2 -9 \lambda + 4 = -(\lambda - 4)(\lambda -1)^2$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 4$ である。

- $\lambda_3 = 4$ のとき、$(A - 4I)v_3 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + y + z = 0, x - 2y + z = 0, x + y - 2z = 0$

$x=y=z$ の時に、$-2x+x+x = 0$, $x-2x+x=0$, $x+x-2x = 0$となり条件を満たす。なので、条件が異なります。$y=x, z=x$を$-2x+y+z = 0$に代入すると、$-2x+y+z = 0$を変形すると $2x = y+z$となる。$x-2y+z=0$を変形すると $x+z=2y$となる。$x+y-2z = 0$を変形すると $x+y = 2z$。

これらの式をまとめると、

$x+y+z =0となる。$x+y=2z$と、$x+y= -z$なので、$ -z =2z$なので、$ z=0$

$x=y$なので、$x-2x =0$なので、$x =0$ したがって、固有値は存在しません。

固有ベクトルは $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の固有値が3の固有ベクトル。

- $\lambda_3 = 4$ のとき、$(A - 4I)v_3 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + y + z = 0, x - 2y + z = 0, x + y - 2z = 0$

これらの式から $x = y = z$ を引くと、

$-3x+y+z = 0, x=y, z=0 とすると条件を満たします。計算ミスの可能性があるのでチェックします。

$x+y-2z = 0$と$x+y =2z$から$z=1とすると$x+y = 2なので、$x=1とすると$y =1$

したがって、固有ベクトルは $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ でなくてはならないが、異なる固有ベクトルなので、直交する必要があります。

直交行列 $P$ を $P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$ とする。

対角行列 $D$ は $D = P^{-1}AP = P^TAP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

対角化された行列は $D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ で、直交行列は $P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$。