与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ を対角化し、その結果を利用して $A^n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ を対角化し、その結果を利用して $A^n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める：

まず、行列 $A$ の固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解いて固有値 $\lambda$ を求める。ここで、$I$ は単位行列である。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 2 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)(4-\lambda) - 1 \cdot 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 12 - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 2)(\lambda - 5) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = 5$ である。

(2) 固有ベクトルを求める：

各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

- $\lambda_1 = 2$ の場合：

$(A - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ を解く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y = 0$ より、$y = -x$。したがって、固有ベクトルは $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となる。

- $\lambda_2 = 5$ の場合：

$(A - 5I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ を解く。

$\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + y = 0$ より、$y = 2x$。したがって、固有ベクトルは $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ となる。

(3) 対角化可能性を確認し、対角化する：

行列 $A$ は異なる固有値を持つので、対角化可能である。

固有ベクトルを並べて行列 $P$ を作成する：$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$。

このとき、$P^{-1}AP = D$ は対角行列となり、$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$。

$P^{-1}$ を求める。$P$ の行列式は $(1)(2) - (1)(-1) = 3$ である。

$P^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。

(4) $A^n$ を求める：

$A = PDP^{-1}$ より、$A^n = PD^nP^{-1}$。

$D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 5^n \end{pmatrix}$ であるから、

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 5^n \end{pmatrix} \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2^n & 5^n \\ -2^n & 2 \cdot 5^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2^{n+1} + 5^n & -2^n + 5^n \\ -2^{n+1} + 2 \cdot 5^n & 2^n + 2 \cdot 5^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^n = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2^{n+1} + 5^n & -2^n + 5^n \\ -2^{n+1} + 2 \cdot 5^n & 2^n + 2 \cdot 5^n \end{pmatrix}$