与えられた4x4の歪対称行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。 $\begin{bmatrix} 0 & f & b & c \\ -f & 0 & e & d \\ -b & -e & 0 & a \\ -c & -d & -a & 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4の歪対称行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。

$\begin{bmatrix}

0 & f & b & c \\

-f & 0 & e & d \\

-b & -e & 0 & a \\

-c & -d & -a & 0

\end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの方法があります。ここでは直接計算する方法を示します。

行列式を計算する際には、まず1行目について展開します。

$\det(A) = 0 \cdot C_{11} - f \cdot C_{12} + b \cdot C_{13} - c \cdot C_{14}$

ここで $C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分に対する余因子です。

それぞれの余因子を計算します。

$C_{12} = (-1)^{1+2} \det \begin{bmatrix} -f & e & d \\ -b & 0 & a \\ -c & -a & 0 \end{bmatrix} = -(-f(0 - (-a^2)) - e(0 - (-ac)) + d(ab - 0)) = -(fa^2 - ace + abd)$

$C_{12} = -fa^2 + ace - abd$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \det \begin{bmatrix} -f & 0 & d \\ -b & -e & a \\ -c & -d & 0 \end{bmatrix} = (-f(0 - (-ad)) - 0 + d(bd - ce)) = -fad + bdd - ced = -fad + bd^2 - cde$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \det \begin{bmatrix} -f & 0 & e \\ -b & -e & 0 \\ -c & -d & -a \end{bmatrix} = -(-f(ae - 0) - 0 + e(bd - ce)) = -(-fae + bde - ce^2) = fae - bde + ce^2$

したがって、

$\det(A) = -f(-fa^2 + ace - abd) + b(-fad + bd^2 - cde) - c(fae - bde + ce^2)$

$= f^2 a^2 - acef + abdf - abdf + b^2 d^2 - bcde - acef + bcde - c^2 e^2$

$= f^2 a^2 - 2acef + b^2 d^2 - c^2 e^2$

$= (af - ce)^2 + b^2 d^2 - c^2 e^2$

$= (af - ce)^2 - (ce)^2+ (bd)^2$

歪対称行列の行列式は常に平方数になるため、上記の計算に間違いがある可能性があります。

歪対称行列の行列式は Pfaffian の二乗であるという性質を使用します。

Pfaffian は $af - be + cd$ で与えられます。

したがって、行列式は $(af - be + cd)^2$ です。

$\det(A) = (af - be + cd)^2$

3. 最終的な答え

$(af - be + cd)^2$