与えられた4x4の行列の行列式を計算します。ここで、行列の要素は実数 $a, b, c, d, e, f$ です。

1. 問題の内容

与えられた4x4の行列の行列式を計算します。ここで、行列の要素は実数 $a, b, c, d, e, f$ です。

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行列の最初の行に沿って展開します。

$\begin{vmatrix} 0 & f & b & c \\ -f & 0 & e & d \\ -b & -e & 0 & a \\ -c & -d & -a & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot C_{11} + f \cdot (-1)^{1+2} \cdot M_{12} + b \cdot (-1)^{1+3} \cdot M_{13} + c \cdot (-1)^{1+4} \cdot M_{14}$

ここで、$M_{ij}$は$ij$小行列式、$C_{ij}$は余因子です。

したがって、

$\begin{vmatrix} 0 & f & b & c \\ -f & 0 & e & d \\ -b & -e & 0 & a \\ -c & -d & -a & 0 \end{vmatrix} = -f \begin{vmatrix} -f & e & d \\ -b & 0 & a \\ -c & -a & 0 \end{vmatrix} + b \begin{vmatrix} -f & 0 & d \\ -b & -e & a \\ -c & -d & 0 \end{vmatrix} - c \begin{vmatrix} -f & 0 & e \\ -b & -e & 0 \\ -c & -d & -a \end{vmatrix}$

最初の3x3の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} -f & e & d \\ -b & 0 & a \\ -c & -a & 0 \end{vmatrix} = -f(0 - (-a^2)) - e(0 - (-ac)) + d(ab - 0) = -fa^2 - ace + abd$

2番目の3x3の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} -f & 0 & d \\ -b & -e & a \\ -c & -d & 0 \end{vmatrix} = -f(0 - (-ad)) - 0 + d(bd - ce) = fad + bd^2 - cde$

3番目の3x3の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} -f & 0 & e \\ -b & -e & 0 \\ -c & -d & -a \end{vmatrix} = -f(ae - 0) - 0 + e(bd - ce) = -fae + bde - ce^2$

したがって、

$\begin{vmatrix} 0 & f & b & c \\ -f & 0 & e & d \\ -b & -e & 0 & a \\ -c & -d & -a & 0 \end{vmatrix} = -f(-fa^2 - ace + abd) + b(fad + bd^2 - cde) - c(-fae + bde - ce^2)$

$= f^2a^2 + acfe - abdf + bfad + b^2d^2 - bcde + cfae - bcde + c^2e^2$

$= f^2a^2 + b^2d^2 + c^2e^2 + 2acfe - 2bcde$

$= (fa - bd + ce)^2 + 2fbda - 2fbda$

$= (af - be + cd)^2$

$= (af)^2 + (be)^2 + (cd)^2 + 2(af)(-be) + 2(af)(cd) + 2(-be)(cd)$

$= (af)^2 + (be)^2 + (cd)^2 - 2abef + 2acdf - 2bcde$

$= (af - be + cd)^2$

別の方法として、与えられた行列は歪対称行列であり、その行列式は完全平方です。

$\begin{vmatrix} 0 & f & b & c \\ -f & 0 & e & d \\ -b & -e & 0 & a \\ -c & -d & -a & 0 \end{vmatrix} = (af - be + cd)^2$

3. 最終的な答え

$(af - be + cd)^2$