与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ d & b & 0 \\ e & f & c \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 余因子行列 $\tilde{A}$ を求める。 (2) 行列式 $\det A$ を求める。 (3) 逆行列 $A^{-1}$ を求める。ただし、$a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}$ かつ $abc \ne 0$ である。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ d & b & 0 \\ e & f & c \end{bmatrix}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 余因子行列 $\tilde{A}$ を求める。

(2) 行列式 $\det A$ を求める。

(3) 逆行列 $A^{-1}$ を求める。ただし、$a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}$ かつ $abc \ne 0$ である。

2. 解き方の手順

(1) 余因子行列 $\tilde{A}$ は、$A$ の余因子を行列にしたものの転置です。余因子 $C_{ij}$ は、$(-1)^{i+j} M_{ij}$ で与えられます。ここで、$M_{ij}$ は $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた行列の行列式です。

$C_{11} = bc$

$C_{12} = -(dc - 0) = -dc = -cd$

$C_{13} = df - be = 0 - be = -bf$

$C_{21} = 0$

$C_{22} = ac$

$C_{23} = -af = 0$

$C_{31} = 0$

$C_{32} = 0$

$C_{33} = ab$

余因子行列 $C$ は以下のようになります。

$C = \begin{bmatrix} bc & -cd & -bf \\ 0 & ac & -af \\ 0 & 0 & ab \end{bmatrix}$

$\tilde{A} = C^T = \begin{bmatrix} bc & 0 & 0 \\ -cd & ac & 0 \\ -bf & -af & ab \end{bmatrix}$

(2) 行列式 $\det A$ は、$A$ が下三角行列なので、対角成分の積で計算できます。

$\det A = a \cdot b \cdot c = abc$

(3) 逆行列 $A^{-1}$ は、$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \tilde{A}$ で与えられます。

$A^{-1} = \frac{1}{abc} \begin{bmatrix} bc & 0 & 0 \\ -cd & ac & 0 \\ -bf & -af & ab \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{bc}{abc} & 0 & 0 \\ \frac{-cd}{abc} & \frac{ac}{abc} & 0 \\ \frac{-bf}{abc} & \frac{-af}{abc} & \frac{ab}{abc} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ \frac{-d}{ab} & \frac{1}{b} & 0 \\ \frac{-f}{ac} & \frac{-f}{bc} & \frac{1}{c} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} bc & 0 & 0 \\ -cd & ac & 0 \\ -bf & -af & ab \end{bmatrix}$

(2)

$\det A = abc$