(1) $(3x-2)^5$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める。 (2) $(x-2y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求める。 (3) (1) 多項式 $4x^3 + 7x + 3$ を多項式 $2x - 3$ で割ったときの商と余りを求める。 　(2) 多項式 $x^3 - x^2 + 3x + 1$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $x - 2$ 、余りが $2x + 7$ である。多項式 $B$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $(3x-2)^5$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める。

(2) $(x-2y)^6$ の展開式における $x^3y^3$ の項の係数を求める。

(3) (1) 多項式 $4x^3 + 7x + 3$ を多項式 $2x - 3$ で割ったときの商と余りを求める。

　(2) 多項式 $x^3 - x^2 + 3x + 1$ を多項式 $B$ で割ったとき、商が $x - 2$ 、余りが $2x + 7$ である。多項式 $B$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いる。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$

$(3x-2)^5 = \sum_{k=0}^{5} {}_5 C_k (3x)^{5-k} (-2)^k$

$x^4$ の項は $k=1$ のときなので、${}_5 C_1 (3x)^4 (-2)^1 = 5 \cdot 81x^4 \cdot (-2) = -810x^4$

したがって係数は -810。

(2) 二項定理を用いる。

$(x-2y)^6 = \sum_{k=0}^{6} {}_6 C_k x^{6-k} (-2y)^k = \sum_{k=0}^{6} {}_6 C_k (-2)^k x^{6-k} y^k$

$x^3y^3$ の項は $k=3$ のときなので、${}_6 C_3 x^3 (-2y)^3 = 20 \cdot x^3 \cdot (-8y^3) = -160 x^3 y^3$

したがって係数は -160。

(3) (1) 筆算または組み立て除法で多項式の割り算を行う。

$4x^3 + 7x + 3$ を $2x - 3$ で割ると、

商は $2x^2 + 3x + 8$ 、余りは 27。

(3) (2) 割り算の式を立てる。

$x^3 - x^2 + 3x + 1 = B(x-2) + (2x + 7)$

$B(x-2) = x^3 - x^2 + 3x + 1 - (2x + 7) = x^3 - x^2 + x - 6$

$B = \frac{x^3 - x^2 + x - 6}{x - 2}$

筆算または組み立て除法で計算すると、

$B = x^2 + x + 3$

3. 最終的な答え

(1) の答え：-810

(2) の答え：-160

(3) (1) の答え：商：$2x^2 + 3x + 8$、余り：27

(3) (2) の答え：$B = x^2 + x + 3$