指数法則を用いて、以下の3つの式を計算する問題です。ただし、$a>0$とします。 (1) $\sqrt[3]{\sqrt{a^2}}$ (2) $\sqrt[5]{a^3} \times \frac{1}{\sqrt{a}}$ (3) $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a^5}}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

指数法則を用いて、以下の3つの式を計算する問題です。ただし、$a>0$とします。

(1) $\sqrt[3]{\sqrt{a^2}}$

(2) $\sqrt[5]{a^3} \times \frac{1}{\sqrt{a}}$

(3) $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a^5}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[3]{\sqrt{a^2}}$

まず、ルートを指数で表します。

$\sqrt{a^2} = (a^2)^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{\sqrt{a^2}} = \sqrt[3]{(a^2)^{\frac{1}{2}}}$

次に、指数の積の法則を使います。

$(a^2)^{\frac{1}{2}} = a^{2 \times \frac{1}{2}} = a^1 = a$

したがって、$\sqrt[3]{\sqrt{a^2}} = \sqrt[3]{a}$

再び、ルートを指数で表します。

$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$

(2) $\sqrt[5]{a^3} \times \frac{1}{\sqrt{a}}$

まず、ルートを指数で表します。

$\sqrt[5]{a^3} = a^{\frac{3}{5}}$

$\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

$\frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{-\frac{1}{2}}$

したがって、$\sqrt[5]{a^3} \times \frac{1}{\sqrt{a}} = a^{\frac{3}{5}} \times a^{-\frac{1}{2}}$

次に、指数の和の法則を使います。

$a^{\frac{3}{5}} \times a^{-\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{5} - \frac{1}{2}} = a^{\frac{6}{10} - \frac{5}{10}} = a^{\frac{1}{10}}$

(3) $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a^5}}$

まず、ルートを指数で表します。

$\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$

したがって、$\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[6]{a^5}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}}}$

次に、指数の商の法則を使います。

$\frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}}} = a^{\frac{1}{3} - \frac{5}{6}} = a^{\frac{2}{6} - \frac{5}{6}} = a^{-\frac{3}{6}} = a^{-\frac{1}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $a^{\frac{1}{3}}$

(2) $a^{\frac{1}{10}}$

(3) $a^{-\frac{1}{2}}$