与えられた2変数多項式 $2x^2 + 15xy - 8y^2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $2x^2 + 15xy - 8y^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は $x$ と $y$ に関する2次式であり、因数分解できる形を想定して解きます。

$2x^2 + 15xy - 8y^2 = (ax + by)(cx + dy)$ とおきます。

ここで、$ac = 2$, $bd = -8$, $ad + bc = 15$ となるような整数 $a, b, c, d$ を探します。

$ac = 2$ より、$(a, c)$ の組み合わせは $(1, 2)$ または $(2, 1)$ が考えられます。

次に、$bd = -8$ より、$(b, d)$ の組み合わせは $(1, -8)$, $(-1, 8)$, $(2, -4)$, $(-2, 4)$, $(4, -2)$, $(-4, 2)$, $(8, -1)$, $(-8, 1)$ が考えられます。

これらの組み合わせの中から、$ad + bc = 15$ となるものを見つけます。

$(a, c) = (1, 2)$ の場合を考えます。

* $(b, d) = (1, -8)$ のとき、$ad + bc = (1)(-8) + (1)(2) = -8 + 2 = -6$

* $(b, d) = (-1, 8)$ のとき、$ad + bc = (1)(8) + (-1)(2) = 8 - 2 = 6$

* $(b, d) = (2, -4)$ のとき、$ad + bc = (1)(-4) + (2)(2) = -4 + 4 = 0$

* $(b, d) = (-2, 4)$ のとき、$ad + bc = (1)(4) + (-2)(2) = 4 - 4 = 0$

* $(b, d) = (4, -2)$ のとき、$ad + bc = (1)(-2) + (4)(2) = -2 + 8 = 6$

* $(b, d) = (-4, 2)$ のとき、$ad + bc = (1)(2) + (-4)(2) = 2 - 8 = -6$

* $(b, d) = (8, -1)$ のとき、$ad + bc = (1)(-1) + (8)(2) = -1 + 16 = 15$

* $(b, d) = (-8, 1)$ のとき、$ad + bc = (1)(1) + (-8)(2) = 1 - 16 = -15$

$(a, c) = (1, 2)$, $(b, d) = (8, -1)$ のとき、$ad + bc = 15$ となるので、これが正しい組み合わせです。

したがって、

$2x^2 + 15xy - 8y^2 = (x + 8y)(2x - y)$

3. 最終的な答え

$(x + 8y)(2x - y)$