$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を計算する問題です。 (1) $b$ の値を求める。 (2) $b^2 - 2a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を計算する問題です。

(1) $b$ の値を求める。

(2) $b^2 - 2a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ を有理化します。

$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

$\sqrt{3}$ の近似値は $1.732...$ なので、$\sqrt{3}+1$ の近似値は $2.732...$ となります。

したがって、整数部分 $a = 2$、小数部分 $b = (\sqrt{3}+1) - 2 = \sqrt{3}-1$ となります。

(1) $b$ の値を求めます。$b = \sqrt{3} - 1$ なので、答えは $\sqrt{3} - 1$ です。したがって、空欄20-1は3、空欄20-2は1となります。

(2) $b^2 - 2a$ の値を求めます。

$b^2 = (\sqrt{3}-1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$

$b^2 - 2a = (4 - 2\sqrt{3}) - 2(2) = 4 - 2\sqrt{3} - 4 = -2\sqrt{3}$

したがって、空欄21-1は0、空欄21-2は3となります。

3. 最終的な答え

(1) $b = \sqrt{3} - 1$

空欄20-1: 3

空欄20-2: 1

(2) $b^2 - 2a = -2\sqrt{3}$

空欄21-1: 0

空欄21-2: 3