与えられた二重根号の式を簡単にし、空欄にあてはまる値を求める問題です。具体的には、以下の2つの式について考えます。 (1) $\sqrt{9 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{\boxed{22-1}} + \sqrt{\boxed{22-2}}$ (2) $\sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{\boxed{23-1}} - \sqrt{\boxed{23-2}}$

1. 問題の内容

与えられた二重根号の式を簡単にし、空欄にあてはまる値を求める問題です。具体的には、以下の2つの式について考えます。

(1) $\sqrt{9 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{\boxed{22-1}} + \sqrt{\boxed{22-2}}$

(2) $\sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{\boxed{23-1}} - \sqrt{\boxed{23-2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{9 + 2\sqrt{20}}$ の簡略化

二重根号 $\sqrt{a + 2\sqrt{b}}$ を外すには、$x + y = a$ かつ $xy = b$ となる $x$ と $y$ を見つけます。

この問題では、$a = 9$ 、$b = 20$ です。$x + y = 9$ 、$xy = 20$ となる $x$ と $y$ を探します。$x=5$ と $y=4$ が条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{9 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{5} + \sqrt{4} = \sqrt{5} + 2$

よって、$\sqrt{\boxed{22-1}} + \sqrt{\boxed{22-2}} = \sqrt{5} + \sqrt{4}$ ですから、22-1=5, 22-2=4となります。

(2) $\sqrt{7 - \sqrt{48}}$ の簡略化

$\sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{7 - 2\sqrt{12}}$ と変形します。

同様に、$x + y = a$ かつ $xy = b$ となる $x$ と $y$ を見つけます。

この問題では、$a = 7$ 、$b = 12$ です。$x + y = 7$ 、$xy = 12$ となる $x$ と $y$ を探します。$x=4$ と $y=3$ が条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{7 - 2\sqrt{12}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$

よって、$\sqrt{\boxed{23-1}} - \sqrt{\boxed{23-2}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ですから、23-1=4, 23-2=3となります。

3. 最終的な答え

(1) の解答:

22-1 = 5

22-2 = 4

(2) の解答:

23-1 = 4

23-2 = 3