2次関数 $y = x^2 - (a+3)x + 3a$ について、以下の問いに答えます。ただし、$0 < a < 3$ であり、グラフとx軸の交点をA, B、y軸との交点をCとし、Aのx座標はBのx座標より大きいとします。 (ア) Aの座標を求めます。 (イ) $\triangle ABC$ の面積Sを求めます。 (ウ) Sの最大値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - (a+3)x + 3a$ について、以下の問いに答えます。ただし、$0 < a < 3$ であり、グラフとx軸の交点をA, B、y軸との交点をCとし、Aのx座標はBのx座標より大きいとします。

(ア) Aの座標を求めます。

(イ) $\triangle ABC$ の面積Sを求めます。

(ウ) Sの最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(ア) A, Bは $y = x^2 - (a+3)x + 3a = 0$ の解なので、解の公式を使うか因数分解を試みます。因数分解をすると、

$y = (x-3)(x-a)$

となります。したがって、x軸との交点は $x = 3$ と $x = a$ です。Aのx座標はBのx座標より大きいので、Aのx座標は3、Bのx座標はaとなります。したがって、Aの座標は(3, 0)です。

(イ) $\triangle ABC$ の面積Sを求めます。Cはy軸との交点なので、$x=0$ を代入すると、$y = 3a$となり、Cの座標は(0, 3a)です。$\triangle ABC$ の底辺ABの長さは $3-a$ で、高さはy軸上のCのy座標の絶対値である3aなので、面積Sは、

$S = \frac{1}{2} (3-a) (3a) = \frac{1}{2} (9a - 3a^2) = \frac{3}{2} (3a - a^2)$

となります。

(ウ) Sの最大値を求めます。$S = \frac{3}{2} (3a - a^2) = -\frac{3}{2} (a^2 - 3a)$ と変形できます。平方完成すると、

$S = -\frac{3}{2} ((a - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) = -\frac{3}{2} (a - \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2} (\frac{9}{4}) = -\frac{3}{2} (a - \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{8}$

となります。Sが最大となるのは $a = \frac{3}{2}$ のときで、Sの最大値は $\frac{27}{8}$ です。$0 < a < 3$ なので、これは条件を満たしています。

3. 最終的な答え

(ア) Aの座標は (3, 0)

(イ) $S = \frac{3}{2}(3a - a^2)$

(ウ) Sの最大値は $\frac{27}{8}$