$3x^2 + 4x - 1$ を $x - 3$ で割ると、 商は $3x + 13$、余りは $38$ となる。

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1. 問題の内容

問題4と問題5の(1)を解きます。

問題4：多項式$A$を多項式$B$で割ったときの商$Q$と余り$R$を求め、その結果を$A = BQ + R$の形で表す。

(1) $A = 3x^2 + 4x - 1$, $B = x - 3$

問題5：次の式を計算せよ。

(1) $\frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 + 2x - 3} \times \frac{x + 3}{x^2 - 10x + 25}$

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2. 解き方の手順

### 問題4 (1)

1. 筆算または組み立て除法を用いて$A$を$B$で割る。

$3x^2 + 4x - 1$ を $x - 3$ で割ると、

商は $3x + 13$、余りは $38$ となる。

2. $A = BQ + R$ の形に表す。

$A = 3x^2 + 4x - 1$

$B = x - 3$

$Q = 3x + 13$

$R = 38$

よって、$3x^2 + 4x - 1 = (x - 3)(3x + 13) + 38$

### 問題5 (1)

1. 分子と分母をそれぞれ因数分解する。

$x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$

$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$

$x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$

2. 式に代入する。

$\frac{(x - 5)(x + 1)}{(x + 3)(x - 1)} \times \frac{x + 3}{(x - 5)^2}$

3. 約分する。

$\frac{(x - 5)(x + 1)}{(x + 3)(x - 1)} \times \frac{x + 3}{(x - 5)(x - 5)} = \frac{x + 1}{(x - 1)(x - 5)}$

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3. 最終的な答え

問題4 (1)

商: $3x + 13$

余り: $38$

$3x^2 + 4x - 1 = (x - 3)(3x + 13) + 38$

問題5 (1)

$\frac{x + 1}{(x - 1)(x - 5)}$