与えられた行列 $A$ に対して、正則行列 $P$ を求め、$P^{-1}AP$ が対角行列になるようにせよ。具体的には、以下の2つの行列に対して、$P$ と $P^{-1}AP$ を求める。 (1) $A = \begin{pmatrix} -5 & 6 & 4 \\ -7 & 8 & 4 \\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} -5 & 6 & 4 \\ -7 & 8 & 4 \\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ (1)と同じ)

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ に対して、正則行列 $P$ を求め、$P^{-1}AP$ が対角行列になるようにせよ。具体的には、以下の2つの行列に対して、$P$ と $P^{-1}AP$ を求める。

(1) $A = \begin{pmatrix} -5 & 6 & 4 \\ -7 & 8 & 4 \\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} -5 & 6 & 4 \\ -7 & 8 & 4 \\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ (1)と同じ)

2. 解き方の手順

(1)の行列 $A = \begin{pmatrix} -5 & 6 & 4 \\ -7 & 8 & 4 \\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ について解く。

ステップ1: 固有値を求める。

特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解く。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -5-\lambda & 6 & 4 \\ -7 & 8-\lambda & 4 \\ -2 & 2 & 3-\lambda \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = (-5-\lambda)((8-\lambda)(3-\lambda) - 8) - 6(-7(3-\lambda) + 8) + 4(-14 + 2(8-\lambda)) = 0$

$(-5-\lambda)(\lambda^2 - 11\lambda + 16) - 6(-13 + 7\lambda) + 4(2-2\lambda) = 0$

$-\lambda^3 + 6\lambda^2 + \lambda - 6 = 0$

$\lambda^3 - 6\lambda^2 - \lambda + 6 = 0$

$(\lambda - 1)(\lambda - 6)(\lambda + 1) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 6, \lambda_3 = -1$ である。

ステップ2: 固有ベクトルを求める。

各固有値に対して、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たす固有ベクトル $v$ を求める。

$\lambda_1 = 1$:

$\begin{pmatrix} -6 & 6 & 4 \\ -7 & 7 & 4 \\ -2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-6x + 6y + 4z = 0 \implies -3x + 3y + 2z = 0$

$-7x + 7y + 4z = 0$

$-2x + 2y + 2z = 0 \implies x = y + z$

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ を得る。

$\lambda_2 = 6$:

$\begin{pmatrix} -11 & 6 & 4 \\ -7 & 2 & 4 \\ -2 & 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-11x + 6y + 4z = 0$

$-7x + 2y + 4z = 0$

$-2x + 2y - 3z = 0 \implies x = y - \frac{3}{2}z$

$v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ を得る。

$\lambda_3 = -1$:

$\begin{pmatrix} -4 & 6 & 4 \\ -7 & 9 & 4 \\ -2 & 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-4x + 6y + 4z = 0 \implies -2x + 3y + 2z = 0$

$-7x + 9y + 4z = 0$

$-2x + 2y + 4z = 0 \implies -x + y + 2z = 0 \implies x = y + 2z$

$v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ を得る。

ステップ3: 正則行列 $P$ を作る。

固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列 $P$ を作る。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 5 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ4: 対角行列 $P^{-1}AP$ を求める。

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ となる。

(2)についても行列は同じであるため、同様の手順で解くことができ、同じ結果が得られる。

3. 最終的な答え

(1)

$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 5 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

(2)

$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 5 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$