問題17: 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値は1と4であり、固有値1に対応する固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$、固有値4に対応する固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。行列 $Q = (v_2\ v_1) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ としたとき、行列 $Q^{-1}AQ$ を求めよ。 問題18: 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値は1と4であり、固有値1に対応する固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$、固有値4に対応する固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。行列 $P = (v_1\ v_2) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ としたとき、行列 $A$ は行列 $P$ によって $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ と対角化できる。$A^n$ を表す式を選べ。 問題19: 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$、単位行列 $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$、$x$を変数とする。$A$ の固有方程式 $|A - xE| = 0$ を求めよ。 問題20: 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$、単位行列 $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$、$x$ を変数とする。$A$ の固有値の組を求めよ。

1. 問題の内容

問題17: 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値は1と4であり、固有値1に対応する固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$、固有値4に対応する固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。行列 $Q = (v_2\ v_1) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ としたとき、行列 $Q^{-1}AQ$ を求めよ。

問題18: 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ の固有値は1と4であり、固有値1に対応する固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$、固有値4に対応する固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ である。行列 $P = (v_1\ v_2) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ としたとき、行列 $A$ は行列 $P$ によって $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ と対角化できる。$A^n$ を表す式を選べ。

問題19: 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$、単位行列 $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$、$x$を変数とする。$A$ の固有方程式 $|A - xE| = 0$ を求めよ。

問題20: 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$、単位行列 $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$、$x$ を変数とする。$A$ の固有値の組を求めよ。

2. 解き方の手順

問題17:

$Q = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $Q^{-1}$ を求める。

$Q^{-1} = \frac{1}{(1)(1) - (-2)(1)} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$Q^{-1}AQ$ を計算する。

$Q^{-1}AQ = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 & 8 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

問題18:

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ より、$A = PDP^{-1}$ 。したがって、$A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1} = P \begin{pmatrix} 1^n & 0 \\ 0 & 4^n \end{pmatrix} P^{-1} = P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4^n \end{pmatrix} P^{-1}$

問題19:

$|A - xE| = \begin{vmatrix} 2-x & 1 & 0 \\ 0 & 3-x & 1 \\ 0 & 0 & 4-x \end{vmatrix} = (2-x)(3-x)(4-x) = 0$

問題20:

$A$ は上三角行列なので、固有値は対角成分の値である。したがって、固有値は2, 3, 4である。

3. 最終的な答え

問題17: (4). $\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

問題18: (2). $A^n = P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4^n \end{pmatrix} P^{-1}$

問題19: (1). $(2-x)(3-x)(4-x) = 0$

問題20: (1). 2, 3, 4