数列 $\{3, 5, 10, 18, 29, 43, \dots\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{3, 5, 10, 18, 29, 43, \dots\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、階差数列を求めます。

数列の各項の差を計算します。

$5-3 = 2$

$10-5 = 5$

$18-10 = 8$

$29-18 = 11$

$43-29 = 14$

階差数列は $\{2, 5, 8, 11, 14, \dots\}$ となります。

次に、階差数列の階差数列を求めます。

$5-2 = 3$

$8-5 = 3$

$11-8 = 3$

$14-11 = 3$

階差数列の階差数列は $\{3, 3, 3, 3, \dots\}$ となり、これは定数数列なので、元の数列は2次の等差数列であることがわかります。

一般項を $a_n = An^2 + Bn + C$ とおきます。

$a_1 = A + B + C = 3$

$a_2 = 4A + 2B + C = 5$

$a_3 = 9A + 3B + C = 10$

これらの式から $A, B, C$ を求めます。

$a_2 - a_1 = (4A + 2B + C) - (A + B + C) = 3A + B = 5 - 3 = 2$

$a_3 - a_2 = (9A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = 5A + B = 10 - 5 = 5$

$(5A + B) - (3A + B) = 2A = 5 - 2 = 3$

$A = \frac{3}{2}$

$3A + B = 2$ に $A = \frac{3}{2}$ を代入すると、

$3(\frac{3}{2}) + B = 2$

$\frac{9}{2} + B = 2$

$B = 2 - \frac{9}{2} = \frac{4}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{5}{2}$

$A + B + C = 3$ に $A = \frac{3}{2}, B = -\frac{5}{2}$ を代入すると、

$\frac{3}{2} - \frac{5}{2} + C = 3$

$-\frac{2}{2} + C = 3$

$-1 + C = 3$

$C = 4$

したがって、一般項は $a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n + 4$ となります。

$a_n = \frac{3n^2 - 5n + 8}{2}$

3. 最終的な答え

数列 $\{3, 5, 10, 18, 29, 43, \dots\}$ の一般項は $a_n = \frac{3n^2 - 5n + 8}{2}$ です。