与えられた式 $(\log_2 3) \cdot (\log_3 5) \cdot (\log_5 32)$ を計算し、その値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $(\log_2 3) \cdot (\log_3 5) \cdot (\log_5 32)$ を計算し、その値を求めます。

2. 解き方の手順

底の変換公式を利用して、すべての対数の底を共通の底に変換します。ここでは底を10に変換することを考えます（他の底でも構いません）。

底の変換公式は以下の通りです。

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

この公式を適用すると、与えられた式は次のようになります。

$(\log_2 3) \cdot (\log_3 5) \cdot (\log_5 32) = \frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{\log 32}{\log 5}$

分子と分母で同じ要素が打ち消しあうことに注意すると、

$\frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{\log 32}{\log 5} = \frac{\log 32}{\log 2}$

ここで、$32 = 2^5$であるから、$log 32 = \log 2^5 = 5 \log 2$ となります。

したがって、

$\frac{\log 32}{\log 2} = \frac{5 \log 2}{\log 2} = 5$

3. 最終的な答え

5