与えられた式 $2 \cdot \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 32$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2 \cdot \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 32$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を使用します。底の変換公式は $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ です。

ここでは、常用対数（底が10の対数）に変換することにします。

$\log_2 3 = \frac{\log 3}{\log 2}$

$\log_3 5 = \frac{\log 5}{\log 3}$

$\log_5 32 = \frac{\log 32}{\log 5}$

これらを元の式に代入すると、

$2 \cdot \frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{\log 32}{\log 5}$

となります。

ここで、$\log 3$, $\log 5$ が約分できるので、

$2 \cdot \frac{\log 32}{\log 2}$

となります。

$32 = 2^5$ なので、$\log 32 = \log 2^5 = 5 \log 2$ となります。

したがって、

$2 \cdot \frac{5 \log 2}{\log 2}$

となり、$\log 2$ が約分できるので、

$2 \cdot 5 = 10$

となります。

3. 最終的な答え

10