$a_1, ..., a_n, b$ を $\mathbb{R}^m$ のベクトルとし、$A = [a_1, ..., a_n]$ を $m \times n$ 行列とします。このとき、以下の3つの条件が同値であることを示す問題です。 (1) $\text{dim} \langle a_1, ..., a_n, b \rangle = \text{dim} \langle a_1, ..., a_n \rangle$ (2) $b$ は $a_1, ..., a_n$ の1次結合で表せる。 (3) 連立方程式 $Ax = b$ は解をもつ。

1. 問題の内容

$a_1, ..., a_n, b$ を $\mathbb{R}^m$ のベクトルとし、$A = [a_1, ..., a_n]$ を $m \times n$ 行列とします。このとき、以下の3つの条件が同値であることを示す問題です。

(1) $\text{dim} \langle a_1, ..., a_n, b \rangle = \text{dim} \langle a_1, ..., a_n \rangle$

(2) $b$ は $a_1, ..., a_n$ の1次結合で表せる。

(3) 連立方程式 $Ax = b$ は解をもつ。

2. 解き方の手順

3つの条件の同値性を示すためには、(1)→(2)、(2)→(3)、(3)→(1) を示すことで証明できます。

(1)→(2) の証明：

条件(1) より、$\text{dim} \langle a_1, ..., a_n, b \rangle = \text{dim} \langle a_1, ..., a_n \rangle$ が成り立ちます。これは、ベクトル空間 $\langle a_1, ..., a_n \rangle$ に $b$ を加えても次元が変わらないことを意味します。つまり、$b$ は $\langle a_1, ..., a_n \rangle$ に含まれる、すなわち、$b$ は $a_1, ..., a_n$ の1次結合で表せます。したがって、条件(2)が成立します。

(2)→(3) の証明：

条件(2) より、$b$ は $a_1, ..., a_n$ の1次結合で表せるので、$b = c_1 a_1 + ... + c_n a_n$ となるスカラー $c_1, ..., c_n$ が存在します。

このとき、ベクトル $x = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$ を考えると、$Ax = [a_1, ..., a_n] \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} = c_1 a_1 + ... + c_n a_n = b$ となります。したがって、連立方程式 $Ax = b$ は解 $x$ を持ち、条件(3)が成立します。

(3)→(1) の証明：

条件(3) より、連立方程式 $Ax = b$ は解 $x = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}$ を持ちます。これは、$Ax = b$ より、$c_1 a_1 + ... + c_n a_n = b$ が成り立つことを意味します。つまり、$b$ は $a_1, ..., a_n$ の1次結合で表せます。したがって、$b \in \langle a_1, ..., a_n \rangle$ となります。

よって、$\langle a_1, ..., a_n, b \rangle = \langle a_1, ..., a_n \rangle$ が成り立ちます。したがって、これらのベクトル空間の次元も等しくなり、$\text{dim} \langle a_1, ..., a_n, b \rangle = \text{dim} \langle a_1, ..., a_n \rangle$ となります。したがって、条件(1)が成立します。

3. 最終的な答え

条件(1), (2), (3) は同値である。