$W_1$ と $W_2$ は $\mathbb{R}^4$ の部分空間である。 $W_1 = \langle \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} \rangle$ $W_2 = \langle \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \rangle$ $W_1 \cap W_2$ の基底と $W_1 + W_2$ の次元を求めよ。

1. 問題の内容

$W_1$ と $W_2$ は $\mathbb{R}^4$ の部分空間である。

$W_1 = \langle \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} \rangle$

$W_2 = \langle \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \rangle$

$W_1 \cap W_2$ の基底と $W_1 + W_2$ の次元を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$W_1$ と $W_2$ のベクトルを並べた行列を作り、階数を求める。

$A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

この行列を簡約化する。

$\begin{bmatrix} 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -3 & -1 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3/2 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 3/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

したがって、rank(A) = 3

次元定理より、

$\dim(W_1 + W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2)$

$W_1$ は2つの線形独立なベクトルで張られるので $\dim(W_1) = 2$

$W_2$ は2つの線形独立なベクトルで張られるので $\dim(W_2) = 2$

$W_1 + W_2$ は4つのベクトルで張られるので、

$\dim(W_1 + W_2) = \text{rank}(A) = 3$

$3 = 2 + 2 - \dim(W_1 \cap W_2)$

$\dim(W_1 \cap W_2) = 1$

$W_1 \cap W_2$ の基底を求める。

$W_1 \cap W_2$ のベクトルは、ある $a, b, c, d$ を用いて

$a\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

と表せる。

整理すると、

$2a + 2b = 2c + d$

$a - b = c + d$

$a - 3b = -2c$

$2b = 3c + d$

この連立方程式を解く。

第2式から $d = a - b - c$

これを他の式に代入する。

$2a + 2b = 2c + a - b - c \rightarrow a + 3b = c$

$a - 3b = -2c \rightarrow a - 3b = -2(a + 3b) \rightarrow 3a + 3b = 0 \rightarrow a = -b$

したがって、$c = -b + 3b = 2b$

$d = -b - b - 2b = -4b$

$a = -b, c = 2b, d = -4b$ なので、

$-b \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} = 2b \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} - 4b \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$b \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix} = b \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}$

$b=1$ とすると、$W_1 \cap W_2$ のベクトルは $\begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}$ となる。

これを簡単にするために $\frac{1}{2}$ 倍すると、基底は $\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

$W_1 \cap W_2$ の基底：$\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\dim(W_1 + W_2) = 3$