初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n = 2n^2 + 5n - 3$で表される数列の一般項$a_n$ ($n \geq 2$)を求める問題。また、$n=1$のときの$a_1$の値が与えられている。

代数学数列一般項和の公式等差数列
2025/7/15

1. 問題の内容

初項から第nn項までの和SnS_nSn=2n2+5n3S_n = 2n^2 + 5n - 3で表される数列の一般項ana_n (n2n \geq 2)を求める問題。また、n=1n=1のときのa1a_1の値が与えられている。

2. 解き方の手順

n2n \geq 2において、数列の一般項ana_nは、SnSn1S_n - S_{n-1}で計算できる。
まず、Sn1S_{n-1}を求める。
Sn1=2(n1)2+5(n1)3S_{n-1} = 2(n-1)^2 + 5(n-1) - 3
=2(n22n+1)+5n53= 2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5 - 3
=2n24n+2+5n8= 2n^2 - 4n + 2 + 5n - 8
=2n2+n6= 2n^2 + n - 6
次に、an=SnSn1a_n = S_n - S_{n-1}を計算する。
an=(2n2+5n3)(2n2+n6)a_n = (2n^2 + 5n - 3) - (2n^2 + n - 6)
=2n2+5n32n2n+6= 2n^2 + 5n - 3 - 2n^2 - n + 6
=4n+3= 4n + 3
n=1n=1のとき、a1=S1=2(1)2+5(1)3=2+53=4a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 5(1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 が与えられているが、a1=8a_1 = 8と問題文にある。
an=4n+3a_n = 4n + 3n=1n=1を代入すると、a1=4(1)+3=7a_1 = 4(1) + 3 = 7 となる。
したがって、n2n \geq 2における一般項は4n+34n + 3である。

3. 最終的な答え

an=4n+3a_n = 4n + 3

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