与えられた6つの行列について、それぞれの行列式を計算し、余因子展開で表現する。

1. 問題の内容

与えられた6つの行列について、それぞれの行列式を計算し、余因子展開で表現する。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の行列式

行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$ の行列式は、

$2*(-1) - 1*4 = -2 - 4 = -6$

余因子展開は例えば第1行について行うと、

$2 * (-1)^{1+1} * (-1) + 1 * (-1)^{1+2} * 4 = 2*1*(-1) + 1*(-1)*4 = -2 - 4 = -6$

(2) 3x3行列の行列式

行列 $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式を計算する。

サラスの公式を用いると、

$3*1*1 + 2*0*1 + 1*1*2 - 1*1*1 - 3*0*2 - 2*1*1 = 3 + 0 + 2 - 1 - 0 - 2 = 2$

余因子展開は例えば第1行について行うと、

$3 * (-1)^{1+1} * \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 2 * (-1)^{1+2} * \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 * (-1)^{1+3} * \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 * (1-0) - 2 * (1-0) + 1 * (2-1) = 3 - 2 + 1 = 2$

(3) 3x3行列の行列式

行列 $\begin{pmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 6 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ の行列式を計算する。

$1*1*2 + 5*6*3 + 2*2*4 - 2*1*3 - 1*6*4 - 5*2*2 = 2 + 90 + 16 - 6 - 24 - 20 = 58$

余因子展開は例えば第1行について行うと、

$1 * (-1)^{1+1} * \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} + 5 * (-1)^{1+2} * \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + 2 * (-1)^{1+3} * \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 * (2-24) - 5 * (4-18) + 2 * (8-3) = -22 - 5 * (-14) + 2 * 5 = -22 + 70 + 10 = 58$

(4) 3x3行列の行列式

行列 $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式を計算する。

サラスの公式を用いると、

$1*2*1 + 1*1*1 + 1*1*1 - 1*2*1 - 1*1*1 - 1*1*1 = 2+1+1-2-1-1 = 0$

第1行と第3行が同じなので、行列式は0となる。

(5) 3x3行列の行列式

行列 $\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ の行列式を計算する。

$2*1*2 + 2*1*1 + 1*2*1 - 1*1*1 - 2*1*1 - 2*2*2 = 4+2+2-1-2-8 = -3$

余因子展開は例えば第1行について行うと、

$2 * (-1)^{1+1} * \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 2 * (-1)^{1+2} * \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 1 * (-1)^{1+3} * \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 * (2-1) - 2 * (4-1) + 1 * (2-1) = 2 * 1 - 2 * 3 + 1 * 1 = 2 - 6 + 1 = -3$

(6) 3x3行列の行列式

行列 $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ の行列式を計算する。

対角成分の積なので、$2*1*(-1) = -2$

余因子展開は例えば第1行について行うと、

$2 * (-1)^{1+1} * \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + 0 * (-1)^{1+2} * \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + 0 * (-1)^{1+3} * \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 2 * (1*(-1)-0*0) + 0 + 0 = 2 * (-1) = -2$

3. 最終的な答え

(1) -6

(2) 2

(3) 58

(4) 0

(5) -3

(6) -2