与えられた3つの行列の固有値と固有ベクトルを求める問題です。 (1) $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 6 & -3 & -7 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & -3 & -6 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の固有値と固有ベクトルを求める問題です。

(1) $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 6 & -3 & -7 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & -3 & -6 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ の場合：

まず、固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解いて固有値 $\lambda$ を求めます。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 \\ 1 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)(4-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 2)(\lambda - 5) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = 5$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 2$ の場合：

$(A - 2I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + 2y = 0$ より、$x = -2y$。

固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍です。

$\lambda_2 = 5$ の場合：

$(A - 5I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + 2y = 0$ より、$x = y$。

固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍です。

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & -3 & -7 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & -3 & -6 \end{pmatrix}$ の場合：

まず、固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解いて固有値 $\lambda$ を求めます。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 6-\lambda & -3 & -7 \\ -1 & 2-\lambda & 1 \\ 5 & -3 & -6-\lambda \end{vmatrix} = (6-\lambda)((2-\lambda)(-6-\lambda) + 3) + 3((-1)(-6-\lambda) - 5) - 7(3 - 5(2-\lambda)) = -\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda - 2 = -(\lambda - 1)(\lambda + 1)(\lambda - 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$, $\lambda_3 = 2$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 1$ の場合：

$(A - I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 5 & -3 & -7 \\ -1 & 1 & 1 \\ 5 & -3 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + y + z = 0$ と $5x - 3y - 7z = 0$ を解くと、$x = 2y$, $z = -y$ となります。

固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ の定数倍です。

$\lambda_2 = -1$ の場合：

$(A + I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 7 & -3 & -7 \\ -1 & 3 & 1 \\ 5 & -3 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 3y + z = 0$ と $7x - 3y - 7z = 0$ を解くと、$x = z$, $y = 0$ となります。

固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍です。

$\lambda_3 = 2$ の場合：

$(A - 2I)v_3 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 4 & -3 & -7 \\ -1 & 0 & 1 \\ 5 & -3 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + z = 0$ より $x = z$。$4x - 3y - 7z = 0$ より $4x - 3y - 7x = 0$, $-3x - 3y = 0$ より $x = -y$。したがって、$y = -x$ であり、$z = x$ です。

固有ベクトルは $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍です。

(3) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ の場合：

まず、固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解いて固有値 $\lambda$ を求めます。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & 1 \\ -1 & 1-\lambda & 2 \\ 1 & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)((1-\lambda)^2 - 4) + 1(-(1-\lambda) - 2) + 1(-2 - (1-\lambda)) = (2-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda - 3) + (-3+\lambda) + (-3+\lambda) = -\lambda^3 + 4\lambda^2 + \lambda - 4 = -(\lambda - 1)(\lambda + 1)(\lambda - 4) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = -1$, $\lambda_3 = 4$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 1$ の場合：

$(A - I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - y + z = 0$, $-x + 2z = 0$, $x + 2y = 0$ を解くと、$x = 2z$, $y = -z$ となります。

固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ の定数倍です。

$\lambda_2 = -1$ の場合：

$(A + I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x - y + z = 0$, $-x + 2y + 2z = 0$, $x + 2y + 2z = 0$ を解くと、$y = -x$, $z = -4x$ となります。ただし、最後の2つの式は同値であるため、$3x - y + z = 0$ に代入すると $3x - (-x) + z = 0$。したがって、$z = -4x$。

したがって固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ は得られず、代わりに $-x + 2y + 2z = 0$ を満たす $y = -x$ と $z = -x$ を得ます。このとき $x - 2x -2x = -3x = 0$ より、$x = 0$ となり、$x$ が任意の値を取り得ない。

誤りがある。再度計算すると、$x = 0$ および$2y + 2z = 0$より$y = -z$.

$3x -y+z = 0$より$3x + z + z = 3x + 2z = 0$.

$v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}$

$\lambda_3 = 4$ の場合：

$(A - 4I)v_3 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x - y + z = 0$, $-x - 3y + 2z = 0$, $x + 2y - 3z = 0$ を解きます。

最初の式と３番目の式を足すと、$y - 2z = 0$ よって、$y = 2z$

二番目の式に代入すると$-x -6z + 2z= 0$より$x = -4z$.

固有ベクトルは $v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1/4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 固有値 $\lambda_1 = 2$, 固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

固有値 $\lambda_2 = 5$, 固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) 固有値 $\lambda_1 = 1$, 固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

固有値 $\lambda_2 = -1$, 固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

固有値 $\lambda_3 = 2$, 固有ベクトル $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) 固有値 $\lambda_1 = 1$, 固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

固有値 $\lambda_2 = -1$, 固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

固有値 $\lambda_3 = 4$, 固有ベクトル $v_3 = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$