問題は、与えられた $f(n)$ が何次式であるか、または何次以下の多項式であるかを答える問題です。ここで、$n$ は自然数です。$O(g(n))$ は、$n$ が十分に大きいとき、$g(n)$ の定数倍で抑えられる項を表します。

1. 問題の内容

問題は、与えられた $f(n)$ が何次式であるか、または何次以下の多項式であるかを答える問題です。ここで、$n$ は自然数です。$O(g(n))$ は、$n$ が十分に大きいとき、$g(n)$ の定数倍で抑えられる項を表します。

2. 解き方の手順

各 $f(n)$ について、以下の手順で次数を判定します。

(1) $f(n) = n^2 + O(n)$

$O(n)$ は $n$ 以下の次数の項を表すので、$n^2$ が支配的です。よって、$f(n)$ は 2 次式です。

(2) $f(n) = n^2 + O(n^2)$

$O(n^2)$ は $n^2$ 以下の次数の項を表すので、最高次数は $n^2$ です。よって、$f(n)$ は 2 次式です。

(3) $f(n) = n^2 + O(n^3)$

$O(n^3)$ は $n^3$ 以下の次数の項を表すので、$n^2$ が支配的です。よって、$f(n)$ は 2 次式です。

(4) $f(n) = -n^2 + 5n^3 + O(n^3)$

$O(n^3)$ は $n^3$ 以下の次数の項を表すので、$5n^3$ が支配的です。よって、$f(n)$ は 3 次式です。

(5) $f(n) = -n - 3n^2 + O(n^3)$

$O(n^3)$ は $n^3$ 以下の次数の項を表すので、$-3n^2$ が支配的です。よって、$f(n)$ は 2 次式です。

(6) $f(n) = O(n^2) + O(1) + n^3$

$O(n^2)$ は $n^2$ 以下の次数の項を、$O(1)$ は定数項を表します。したがって、$n^3$ が支配的です。よって、$f(n)$ は 3 次式です。

3. 最終的な答え

(1) 2次式

(2) 2次式

(3) 2次式

(4) 3次式

(5) 2次式

(6) 3次式