2次関数 $y = -4x^2 + 8x + 5$ (①)について以下の問題を解く。 (1) ①において、$y \ge 0$ となる $x$ の範囲を求める。 (2) ①のグラフを $y$ 軸に関して対称移動した後、$x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $a+1$ だけ平行移動したグラフ $G$ を表す2次関数を求める。 (3) $x = -1$ と $x = 3$ に対応する2次関数②の値が等しくなる $a$ の値を求める。 (4) 上記で求めた $a$ の値のとき、2次関数②の $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -4x^2 + 8x + 5$ (①)について以下の問題を解く。

(1) ①において、$y \ge 0$ となる $x$ の範囲を求める。

(2) ①のグラフを $y$ 軸に関して対称移動した後、$x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $a+1$ だけ平行移動したグラフ $G$ を表す2次関数を求める。

(3) $x = -1$ と $x = 3$ に対応する2次関数②の値が等しくなる $a$ の値を求める。

(4) 上記で求めた $a$ の値のとき、2次関数②の $-1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = -4x^2 + 8x + 5 \ge 0$ を解く。

$-4x^2 + 8x + 5 = 0$ を解くために、まず4で割って $-x^2 + 2x + \frac{5}{4} = 0$。

両辺に-1を掛けて $x^2 - 2x - \frac{5}{4} = 0$。

解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-\frac{5}{4})}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 5}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{2 \pm 3}{2}$

$x = \frac{5}{2}, -\frac{1}{2}$

したがって、$y \ge 0$ となる $x$ の範囲は $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}$。

(2) $y = -4x^2 + 8x + 5$ を $y$ 軸に関して対称移動すると、 $x$ を $-x$ に置き換えて $y = -4(-x)^2 + 8(-x) + 5 = -4x^2 - 8x + 5$ となる。

さらに、$x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $a+1$ だけ平行移動すると、 $x$ を $x-a$, $y$ を $y - (a+1)$ に置き換えて $y - (a+1) = -4(x-a)^2 - 8(x-a) + 5$ となる。

よって、$y = -4(x^2 - 2ax + a^2) - 8x + 8a + 5 + a + 1 = -4x^2 + 8ax - 4a^2 - 8x + 8a + 6 + a = -4x^2 + (8a - 8)x - 4a^2 + 9a + 6$。

(3) $x = -1$ のとき、 $y = -4(-1)^2 + (8a - 8)(-1) - 4a^2 + 9a + 6 = -4 - 8a + 8 - 4a^2 + 9a + 6 = -4a^2 + a + 10$。

$x = 3$ のとき、 $y = -4(3)^2 + (8a - 8)(3) - 4a^2 + 9a + 6 = -36 + 24a - 24 - 4a^2 + 9a + 6 = -4a^2 + 33a - 54$。

$-4a^2 + a + 10 = -4a^2 + 33a - 54$ を解く。

$0 = 32a - 64$

$32a = 64$

$a = 2$

(4) $a = 2$ のとき、2次関数②は $y = -4x^2 + (8(2) - 8)x - 4(2)^2 + 9(2) + 6 = -4x^2 + 8x - 16 + 18 + 6 = -4x^2 + 8x + 8$。

$y = -4(x^2 - 2x) + 8 = -4(x^2 - 2x + 1 - 1) + 8 = -4((x - 1)^2 - 1) + 8 = -4(x - 1)^2 + 4 + 8 = -4(x - 1)^2 + 12$。

頂点は $(1, 12)$。

$-1 \le x \le 3$ の範囲で考える。

$x = 1$ (頂点)のとき、$y = 12$。

$x = -1$ のとき、$y = -4(-1 - 1)^2 + 12 = -4(-2)^2 + 12 = -16 + 12 = -4$。

$x = 3$ のとき、$y = -4(3 - 1)^2 + 12 = -4(2)^2 + 12 = -16 + 12 = -4$。

したがって、最大値は $12$、最小値は $-4$。

3. 最終的な答え

アイ = -1

ウ = 2

エ = 5

オ = 2

カキ = -4

ク = 8

ケ = 1

コ = 4

サ = 9

シ = 6

ス = 2

セソ = 12

タチ = -4