$K^3$ の部分空間 $W$ が、ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ によって生成されるとき、ベクトル $\vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ の $W$ への正射影を求める。ここで、$K^3$ の内積は標準内積とする。

1. 問題の内容

$K^3$ の部分空間 $W$ が、ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ によって生成されるとき、ベクトル $\vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ の $W$ への正射影を求める。ここで、$K^3$ の内積は標準内積とする。

2. 解き方の手順

まず、$W$ の基底が直交しているかどうかを確認する。基底ベクトルを $\vec{w}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ と $\vec{w}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ とすると、

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\vec{w}_1 \cdot \vec{w}_2 = 1 \times 1 + 2 \times 0 + 2 \times 1 = 1 + 0 + 2 = 3 \neq 0

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したがって、$\vec{w}_1$ と $\vec{w}_2$ は直交していない。

グラム・シュミットの直交化法を用いて、直交基底 $\{\vec{u}_1, \vec{u}_2\}$ を作成する。

$\vec{u}_1 = \vec{w}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ とする。

$\vec{u}_2 = \vec{w}_2 - \frac{\vec{w}_2 \cdot \vec{u}_1}{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_1} \vec{u}_1$ を計算する。

$\vec{w}_2 \cdot \vec{u}_1 = 3$ であり、$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_1 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9$ である。

したがって、

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\vec{u}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{3}{9} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - \frac{1}{3} \\ 0 - \frac{2}{3} \\ 1 - \frac{2}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{bmatrix}

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直交基底 $\{\vec{u}_1, \vec{u}_2\}$ が得られた。ここで、$\vec{u}_2$ を3倍して $\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ としてもよい。以下では $\vec{u}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ として計算する。

ベクトル $\vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ の $W$ への正射影 $\text{proj}_W \vec{v}$ は、

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\text{proj}_W \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}_1}{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_1} \vec{u}_1 + \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}_2}{\vec{u}_2 \cdot \vec{u}_2} \vec{u}_2

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$\vec{v} \cdot \vec{u}_1 = 3 \times 1 + (-1) \times 2 + 1 \times 2 = 3 - 2 + 2 = 3$

$\vec{v} \cdot \vec{u}_2 = 3 \times 2 + (-1) \times (-2) + 1 \times 1 = 6 + 2 + 1 = 9$

$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_1 = 9$

$\vec{u}_2 \cdot \vec{u}_2 = 2^2 + (-2)^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9$

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\text{proj}_W \vec{v} = \frac{3}{9} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} + \frac{9}{9} \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} + 2 \\ \frac{2}{3} - 2 \\ \frac{2}{3} + 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{7}{3} \\ -\frac{4}{3} \\ \frac{5}{3} \end{bmatrix}

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3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} \frac{7}{3} \\ -\frac{4}{3} \\ \frac{5}{3} \end{bmatrix}$