行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A^{2023}$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ が与えられたとき、$A^{2023}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A$ を回転行列と見て、回転角 $\theta$ を求める。

$A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ と比較すると、

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ かつ $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{3}$ である。

したがって、$A$ は $\frac{\pi}{3}$ 回転させる行列である。

$A^n$ は $n$ 回 $\frac{\pi}{3}$ 回転させる行列だから、

$A^n = \begin{pmatrix} \cos(n\theta) & -\sin(n\theta) \\ \sin(n\theta) & \cos(n\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\frac{n\pi}{3}) & -\sin(\frac{n\pi}{3}) \\ \sin(\frac{n\pi}{3}) & \cos(\frac{n\pi}{3}) \end{pmatrix}$ となる。

ここで、$n=2023$ を代入すると、$\frac{2023\pi}{3} = 674\pi + \frac{\pi}{3}$ であるから、

$\cos(\frac{2023\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(\frac{2023\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$A^{2023} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ となる。

3. 最終的な答え

$A^{2023} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$