与えられた連立不等式 $3x + 4 < x^2 < 8$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式 $3x + 4 < x^2 < 8$ を解く。

2. 解き方の手順

この連立不等式は、次の2つの不等式に分解できる。

(1) $3x + 4 < x^2$

(2) $x^2 < 8$

まず、(1)の不等式を解く。

$3x + 4 < x^2$

$0 < x^2 - 3x - 4$

$x^2 - 3x - 4 > 0$

$(x - 4)(x + 1) > 0$

したがって、$x < -1$ または $x > 4$

次に、(2)の不等式を解く。

$x^2 < 8$

$-\sqrt{8} < x < \sqrt{8}$

$-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}$

ここで、$\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$ である。

したがって、$-2.828 < x < 2.828$

(1)と(2)の解の共通範囲を求める。

(1) $x < -1$ または $x > 4$

(2) $-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}$

数直線で考えると、

- (1)の範囲は、$x<-1$ または $x>4$

- (2)の範囲は、$-2\sqrt{2}<x<2\sqrt{2}$

共通範囲は、$-2\sqrt{2} < x < -1$

3. 最終的な答え

$-2\sqrt{2} < x < -1$