$a, b$ は実数であり、$ab > 0$ という条件の下で、以下の4つの命題の中から正しいものを選ぶ問題です。もし正しい命題がない場合は、選択肢5を選びます。 (1) $a > b \Rightarrow a^2 < b^2$ (2) $a > b \Rightarrow a^2 > b^2$ (3) $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$ (4) $a^2 < b^2 \Rightarrow a > b$ (5) 上の(1)～(4)は全て正しくない

1. 問題の内容

$a, b$ は実数であり、$ab > 0$ という条件の下で、以下の4つの命題の中から正しいものを選ぶ問題です。もし正しい命題がない場合は、選択肢5を選びます。

(1) $a > b \Rightarrow a^2 < b^2$

(2) $a > b \Rightarrow a^2 > b^2$

(3) $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$

(4) $a^2 < b^2 \Rightarrow a > b$

(5) 上の(1)～(4)は全て正しくない

2. 解き方の手順

$ab>0$ より、$a$と$b$は同符号です。つまり、$a>0$かつ$b>0$または、$a<0$かつ$b<0$のいずれかが成り立ちます。

(1) $a > b \Rightarrow a^2 < b^2$

$a>b>0$の場合、$a^2>b^2$なので、これは偽です。

$0>a>b$の場合、$a^2<b^2$なので、これは真です。

よって、この命題は常に真ではないため、偽です。

(2) $a > b \Rightarrow a^2 > b^2$

$a>b>0$の場合、$a^2>b^2$なので、これは真です。

$0>a>b$の場合、$a^2<b^2$なので、これは偽です。

よって、この命題は常に真ではないため、偽です。

(3) $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$

$a^2 < b^2$ より $|a|<|b|$ です。

$a,b>0$のとき、$a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$ なのでこれは真です。

$a,b<0$のとき、$a^2 < b^2 \Rightarrow a > b$ なのでこれは偽です。

よって、この命題は常に真ではないため、偽です。

(4) $a^2 < b^2 \Rightarrow a > b$

$a^2 < b^2$ より $|a|<|b|$ です。

$a,b<0$のとき、$a^2 < b^2 \Rightarrow a > b$ なのでこれは真です。

$a,b>0$のとき、$a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$ なのでこれは偽です。

よって、この命題は常に真ではないため、偽です。

選択肢(1)～(4)はすべて偽であるため、選択肢(5)が正しいです。

3. 最終的な答え

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